疑難解析

31.

適合對象︰九年級(國三)

能力指標: 全等形

難度指數：☆☆☆☆☆

等腰三角形ABC，AB=AC，∠A=20°。如果D在AC且AD=BC，則∠BDC是幾度?

作正三角形BCE，E點在三角形ABC內.
連AE.
角∠ECB=60°，∠ACB=80°，∠ACE=(80-60)°=20°=∠BAD.

因為AD=BC=CE,，∠ACE=∠BAD且AC=BA，
所以三角形ACE全等於三角形BAD(SAS全等)

因為三角形ABE全等於ACE((SSS全等)
所以∠BAE=∠CAE=(20/2)°=10°=∠ABD

∠BDC=∠BAD+∠ABD(外角定理)
=(20+10)°=30°

32.

適合對象︰國三

能力指標: 圓，相似形

難度指數：☆☆☆☆☆

正三角形ABC內切圓切點分別是D點、E點、F點。 $\widehat{EF}$弧上一點M，由M點向正三角形ABC三邊作垂線，垂足分別是P₁、P₂、P₃。如果MP₁=p，MP₂=q，MP₃=r，試說明$\sqrt{p}=\sqrt{q}+\sqrt{r}$

連EF，

MP₁和EF相交於H點。
因為E點和F點是中點，且EF//AB，

所以正三角形CEF的高=HP₁。

因為正三角形CEF的高=MH+MP₂+MP₃，所以HP₁=MH+MP₂+MP₃_。
因此MP₁=MH+HP₁=2MH+MP₂+MP₃，即 p=2MH+q+r....(1)。

因為M、H、E、P₂四點共圓，所以∠MP₂H=∠MEH(對同弧$\widehat{MH}$)
因為M、H、F、P₃四點共圓，所以∠MHP₃=∠MFP₃(對同弧$\widehat{MP_3}$)
因為正三角形ABC內切圓，弦切角∠P₃FM=∠MEF(圓周角)=∠MEH，所以∠MHP₃=∠MP₂H。
同理可證∠MP₃H=∠MHP₂。
因此三角形MP₃H相似於三角形MHP₂。
因為 MH︰MP₂=MP₃︰MH，所以MH²=MP₂×MP₃=qr，
因此MH=$\sqrt{qr}$....代入(1)
p=2$\sqrt{qr}$+q+r=($\sqrt{q}+\sqrt{r}$)²
所以$\sqrt{p}=\sqrt{q}+\sqrt{r}$ 得證

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