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題   目

題   解

附圖是長方體的平面展開圖，若長方體的長寬高分別是 a、b、c，展開圖中的三個長方形甲、乙、丙的面積比是5：3：2，則 a：b：c=?

ab : ac : bc = 5 : 3 : 2

ab : ac = 5 : 3

3b=5c

ac : bc = 3 : 2

2a=3b

2a=3b=5c

a : b : c =15 : 10 : 6

鄭允頎，芬，劉鴻儒 ，king555 ， 詹為仁(彰化 永靖國中)，光見 喜三，秀華 ，p889013 ，
鄭立國，太源國小王國亨校長，芬園 vincent，陳立富(中華國中204)，tony8631，小河壩， 大何(高雄市)，
Abel(宜蘭縣立南澳高中) ，dazzmoon1 ，vinskman(香港)，Yu.，樂數宏(嘉義)， 廖偉霖(育才小學) ，
周弘宇(桃園縣)，hokaiming2 ，Gina ，郭順興(興桑)，洪仁杰，朱慶仁 ，Boris Yip (香港)，張世毅 ，
Alan Peng，葉昌庭(新竹縣仁愛國中)，陳羽彤， Chien， 柯宇耘(新北市立文山國民中學 七年六班)，
張中維(高師附中國二智) ，王盈進(恆春工商)，ADSL，.蕭偉智(新北市文山國中 0430)，趙中(汐止國中903)，
溫健淞(諾亞數位教育)，李家瑞，張嘉育 (北市教大附小)，cindy， annepig1 ， 劉 德宏，桃園小賴 ，
張育瑄(新北市立文山國中70305)，James(阿湛)，鍾 淯丞 ， 梁清富 ，劉德宏老師(北市萬芳高中 國中部)
王聰鑫(雲林縣)，yen.chien， 葉子(高師大附中 二禮 25)，林志懋(台北市立金華國中)，lin (獻文補習班)，hokaiming2

如圖，長方形ABCD，AB=2BC，E在射線CD上，且CD=2DE，如果AC和BE相交於F點，則∠BFC是幾度﹖

hokaiming2，桃園小賴 ，vinskman(香港) ，徐宏全 ，張世毅，tony8631，Boris Yip (HK)，郭君平，
dazzmoon1 ，p889013 ，小河壩，周宗本，鄭立國 ，王宓琦，恆春工商王盈進，台北 Alan Peng，
詹為仁 (彰化 永靖國中)，柯宏儒老師 (苗栗 維真國中)，侯辰翔，李家瑞，謝宏麟老師，Terence Leung ，
李品豬 ，，吳幸真(高雄)，劉鴻儒，黃名意，chenyu ，蕭偉智(新北市文山國中)，郭順興(興桑)，洪仁杰，
王聰鑫 ，yolanda ，James(阿湛)，諾亞 溫健淞，小明

如圖，C點、D點三等分BE，△ABC、△FDE、△GDE都是正三角形。如果AG與BE相交於K點，CF與AG相交於L點，則 AL：LK：KG =﹖

侯辰翔，徐宏全，劉鴻儒，vinskman(香港)，汐止國中903趙中，James(阿湛) ，詹為仁(彰化 永靖國中) ，周弘宇(桃園縣)，
王盈進(屏東 恆春工商)，郭君平 ，芬園vincent，p889013 ，steven chen(香港)，，derby_chen，詹小宇，huangpeterid ，
蕭偉智(新北市文山國中0228)，連威翔，郭順興(興桑)，徐嵩庭，Abel(宜蘭縣南澳高中)，鄭立國，dazzmoon1 ，
桃園小賴 ，黃巽聰(南投縣立中興國中)，雲林縣 王聰鑫，tony8631，吳幸真(高雄市)，hokaiming2 ，李品豬 ，
張世毅

正△ABC的邊長是10，P點在△ABC外面，如果PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
則AE+BD+CF=?

C.Y.Chiang，  王聰鑫(雲林縣)， 詹為仁(彰化縣永靖國中)，賴清雄(屏師50級)，
王盈進(屏東縣恆春工商)，chenyu ，詹小宇，vinskman(香港)，周弘宇(桃園縣) ，
林子軒 ，郭順興(興桑)，郭君平，阿猴，p889013 ，smp，莊曜禎 ，吳 文正 ，dazzmoon1 ，
James(阿湛)，連威翔 ，蕭偉智(新北市文山國中)，徐宏全，劉鴻儒 ，葉弘智(桃園縣六和高中)
，jimmy&henry ，謝宏林(彰化縣北斗國中)

七位數 59□16△2除以11，餘數是 9，則 □+△的最小值為何﹖
最大值為何﹖

59□16△2除以11，餘數是 9，所以 59□16△4 為11的倍數
奇數位之和：4+6□+5=15+□
偶數位之和：△+1+9=10+△
奇數位之和與偶數位之和的差為(15+□)-(10+△)=5+□-△=0 或 11
(22以上不符合)
若 5+□-△=0 ，則 □-△= -5 ，(□，△)=(0，5)、(1，6).....(4，9)
若 5+□-△=11，則 □-△= 6 ，(□，△)=(9，3)、(8，2)、(7，1)、(6，0)
因此 □+△的最小值為5，最大值為13

Patrick Siu (香港)， 鄭俊傑(Abel)(宜蘭縣南澳高中)，king555 ，徐宏全，
劉鴻儒，周弘宇(桃園縣)，侯辰翔， su.jianjr老師(雲林縣永定國小)，詹為仁(彰化縣永靖國中) ，
朱慶仁，台灣vuvu，王聰鑫(雲林縣)，vinskman(香港)，小賴 (桃園縣)，Alan Chen 陳炬鉾，
 郁盛文(臺北市立五常國民中學 七年五班)，卜冠州(臺北市立五常國民中學 七年五班1號)，
James(阿湛)，p889013 ，芬園vincent，詹小宇， 趙中(台北縣汐止國中 903)，
蕭偉智(臺北縣文山國中)，dazzmoon1，李仁傑，李昌明 ，李品宏，吳多聞(桃園市同安國小) ，
Su-Ching Jian ，吳文正 ，郭順興(興桑)，王盈進(屏東縣恆春工商)，張惟傑，steven chen (香港)，
陳燕樺(高師大附中 9820414 )

如圖，正六邊形ABCDEF的邊長是2。P點在正六邊形ABCDEF內，則△PAB、△PCD和△PEF的面積和是多少﹖
(建議:可以極端原則探索猜想，但以
一般化解題，並附過程。)  

如圖，直線AB分別和直線EF、直線CD交於M點和N點，且直線EF、直線CD相交於L點。
顯然，△LMN是邊長6的正三角形，且A、B、C、D、E、F點分別是正△LMN各邊三等分的等分點。
連PM、PN、PL。
△PAB面積=△PMN面積× 1/3
△PEF面積=△PML面積× 1/3
△PCD面積=△PNL面積× 1/3

因此△PAB面積+△PEF面積+△PCD面積=正△LMN面積× 1/3=(36√3/4)× 1/3= 3√3

賴鎮山(嘉義)，dazzmoon1 ，永靖國中 詹為仁(彰化縣永靖國中)，張凱翔(臺中縣沙鹿國小)，劉鴻儒，屏東市OK肉圓老闆，王聰鑫(雲林縣)，James(阿湛)，連威翔 ，王盈進(屏東縣恆春工商)，徐宏全， huangpeterid ，p889013 ，
金彥良 ，steven chen(香港)，vinskman(香港)，郭順興(興桑)， 李小霖(台南)，陳炬鉾(Alan Chen )，周弘宇(桃園縣)

如圖，直角△ABC，∠C=90∘，內切圓與斜邊相切於D點。若AD ×DB=11，則直角△ABC的面積是多少﹖

Boris Yip (香港)，呂建鴻( Louis Lu)，連威翔，詹為仁(彰化縣永靖國中)，LMaoじゅう ，屏東市OK肉圓店老闆，
Patrick，林冠仲，李昌明 ，黃博裕(台南市復興國中9年級)，徐宏全，郭順興(興桑)，p889013，無敵阿布拉 ，
蕭偉智，侯辰翔，James(阿湛)，張凱翔 ，Poon Ching Long (香港)，張喆(泰山)，vinskman(香港) ，阿猴，
dazzmoon1 ，huangpeterid ，903趙中(汐止國中)，Thomas Shih ，周弘宇(桃園縣)，劉鴻儒， 小穎(大園高中112)，
朱慶仁，何昌國(高雄市)，陳奕憲，Arthur Huang ，李佩軒(大園國際高中一年十班18號)，蔡小卉 ，恆春工商王盈進，William(台中市萬和國中)，Alan Chen ，陳東皓 (嘉義縣協同高中)，黃錫川 ，K堂主(大園國際高中)

如圖，正方形ABCD與正方形EFGH，若AH² +CF² - BE² = 4，則 DG長多少﹖
(請附解題過程)

侯辰翔，LMao ，James(阿湛)，dazzmoon1 ，林冠仲，vinskman(香港)，郭順興(興桑)
，詹為仁(彰化縣永靖國中) ，台灣Vuvu，周弘宇(桃園縣)，Hinet(cnn8786)，謝昀佐

111111111÷9=12345679，「無八」

因為「無」通「亡」(讀音ㄨˊ)

「無八＝亡八」，又亡另一讀音為ㄨㄤˊ

亡八音同王八（烏龜的俗稱）

因此，謎底為烏龜     
        

(香港) vinskman，周弘宇(桃園縣)，郭士愷，王博毅(上班族)，詹為仁(彰化縣永靖國中)，郭順興(興桑)，
William(台中市萬和國中)，蕭偉智(臺北縣文山國中)，8A1班施瑞芳(臺北縣文山國中)，
8A1班吳艾庭(臺北縣文山國中)

AB⊥BC，半圓ADB和半圓BEC的圓心分別是F點和G點，且兩半圓的半徑長相等，若∠AFD=
∠EGB=60∘，則
(1)∠DEG是幾度﹖
(2)∠FDE是幾度﹖

賴清雄(屏東市OK肉圓老闆)，LMao_ピカチュウ，Poon Ching Long (香港)，數學小兵，M.T.C.，林冠仲，謝昀佐，
徐宏全，台中文大陳老，steven chen (香港)，郭順興(興桑)，James(阿湛)，周弘宇(桃園縣)，威翔，江翠國中 呂冠廷，Chi Kan So (香港)，dazzmoon1 ，工友 ，黃建愷(雲林縣東明國中98學年度畢業生)，詹為仁(彰化縣永靖國中) ，p889013 ，simonliao，無尾熊(台北縣福和國中98學年度畢業生)

正方形ABCD內接於圓O，E點在圓O上，AE與BC相交於G點，直線CE與直線AB相交於F點。若CE=3，EF=2，則GE=？

永遠的鷹大俠，dazzmoon1，Chi Kan So，李昌明，cwr623，LMao，vinskman(香港)，
台北小小胖，台灣Vuvu，杜杜，徐宏全，paper.s319 ，葉俊賢(台北縣江翠國中),
p889013， smb ， 阿鈞 ，郭順興(興桑)，天下李嵩，James(阿湛)，林 冠仲 ，
花蓮的黃書彥，周弘宇(桃園縣) ，無尾熊(台北縣福和國中9年級) ，蕭偉智(台北縣文山國中) ，
王泓仁(台北縣中正國中 )，葉瑞誠，葉子(高師大附中10325)  ，游欣為(桃園國中一年31班)，
陳則宇(桃園國中一年級)，pI pI  ，Super，朱慶仁， 趙中(台北縣汐止國中803)

平行四邊形ABCD，F點是AB的中點，若△AFE的面積是 3，△BCF的面積是4，△CDE的面積是 2，則△CEF的面積是多少？

因為F點是AB的中點，所以△BCF的面積是平行四邊形ABCD的1/4，
因此平行四邊形ABCD面積=4×4=16
所以△CEF的面積=16-3-4-2=7

Phish，花蓮的小余，王國亨校長(屏東縣太源國小)，金彥良(台北市景美國中)，朱慶仁，dazzmoon1，
詹為仁(彰化縣 永靖國中) ，洺榤(台南縣新化國中)，vinskman(香港)， jys，賴清雄(屏東市OK肉圓老闆)，
EYE苗栗，Chi Kan So，Poon Ching Long (香港)，吳威德 ，orange82102300，p889013，呂建鴻 ，許杰(歐曄)，
LMao ，桃園縣周弘宇，金鳳夏 ，陳大一 ，鍾大方(台北市古亭國小511)，paper.s319 ，吳雨潤，郭順興(興桑)，
無尾熊(台北縣福和國中9年級)，鍾立杰，蕭偉智(台北縣文山國中)，袁白(台北縣碧華國中)，秀華，HAU.BO ，
勝鈞 ，趙中(台北縣汐止國中803)，王嘉鳴(台北縣秀峰國中)，阿東，郭士愷(台北縣中正國中 7年級)，
蕭明凱(台北市五常國中二年級) ，葉俊賢，陳燕樺(高師大附中11414)，徐億韶，葉瑞誠，黃鈺婷(台北縣積穗國中) ，
William(台中市萬和國中)，宇宙無敵超級氣質美少女(台北市五常國中)，張騰，James(阿湛)

梯形ABCD中，AB//DC，∠A= 90°，CB=CD，DE⊥BC。若AB= 2，DC= 5，則 DE=？(圖僅供參考)

Poon Ching Long(香港)， Peng Peng,Chi Kan So (香港)，台灣 VUVU，吳威德，陳大一， 朱慶仁 ，vinskman(香港) ，dazzmoon1，袁白(台北縣碧華國中)，鍾立杰，郭順興(興桑)，傅惠君，李ML(HCSH)，Wan Derek，黃賜宏(新竹市三民國中)，陳奕,許杰(歐曄)，Ryu， Jason Chan(香港)，周小頭，LMao，paper.s319 ，阿鈞 ，蕭偉智(台北縣文山國中)，周庭如(台北縣文山國中811)，王國亨校長(屏東縣太源國小)，
徐嵩庭(桃園縣中興國中)，李仁傑，蘇老師(雲林縣永定國小)，葉瑞誠，小余，無尾熊(台北縣福和國中9年級)， 713K(台北縣淡水國中)，何冠杰，陳鈺佳(北一女中 二年級) ，郭士愷(台北縣中正國中七年級) ,
葉子(高師大附中國一13 25 ) ，林承信(台北市五常國中二年級) ，p889013，阿華田(高師大附中11414)，
張中維，phisheryu ，許靖邦(高師大附中 國一智 9810427)，嘉女休學生，金彥良(台北市景美國中 )

定義X(n)是正整數n的所有非0數位值的乘積，
例如：X(7)=7，X(18)=1×8=8，X(920)=9×2=18，X(2000)=2，則
X(1)+X(2)+X(3)+......+X(2009)+X(2010)=？

陳大一，LMao ，李ML(HCSH)，dazzmoon1，台灣VUVU，葉瑞誠，p889013，vinskman(香港) ，郭順興(興桑)，李仁傑，詹為仁(彰化縣永靖國中)，朱慶仁，蕭偉智 (北縣文山國中)，paper.s319 ，Chi Kan So(香港),Poon Ching Long ,吳威德(桃園縣大有國中)，Ryu，無尾熊(台北縣福和國中9年級)

a和b都是正整數，四位數2a9b，a是百位數，b是個位數。如果 2a9b = 2^a9^b，則 a=？，b=？

  2a9b=2^a9^b
  顯然2a9b有因數2和9，
  因此b為偶數，而且2+a+9+b是9的倍數
  因為0 < b < 4，否則2a9b > 2999，所以 b = 2
  因為 2+a+9+b=9K，K是正整數，
  又 1 < a+b=9K-11 < 12
  所以 K=2，得 a+b = 7，因此 b = 2，a = 5

詹為仁(彰化縣永靖國中)，dazzmoon1，台灣VUVU，李昌明，李ML(HCSH)，葉瑞誠，陳大一，周祐誼 ，Alan Peng ，p889013，vinskman(香港) ，歐曄，郭順興(興桑)，李仁傑，李品宏(北縣昌隆國小五年級)，阿鈞，LMao ，
趙中(北縣汐止國中803)，黃安碩 ，雨 ~ JNY ，王國亨校長(屏東縣太源國小)，林念臻(北市五常國中二年級)，
朱慶仁，金彥良 ，謝昀佐 ，蕭偉智 (北縣文山國中)，李加樂(北縣義學國中一年級) ，王勝韋(新竹市培英國中) ，
無尾熊(高雄市福和國中9年級)，楊立安，林松逸， 劉凡瑋(北縣文山國中7年12班)，袁白(北縣碧華國中) ，paper.s319 ，Evan Chio

如圖，E、F、G、H是四邊形ABCD的各邊的中點。連接EG、FH，將ABCD分割成甲、乙、丙、丁。如果甲的面積是5，乙的面積是3，丁的面積是4，則丙的面積是多少？

Lmao，陳大一，杜杜，Jerry Lin，阿連，李昌明，paper.s319 ， 詹為仁(彰化縣永靖國中)，阿鈞，
郭順興(興桑)， p889013，棟良，vinskman(香港) ，俊源 ，白 袁， 碩碩，RenJie Lee ，
無尾熊(台北縣福和國中9年級)， 徐嵩庭(桃園縣中興國中)，葉瑞誠(台北縣樂利國小)， 李ML(HCSH)，
林念臻 (台北市五常國中二年級)，謝昀佐(台北縣溪崑國中)

如圖，點B和點C三等分AD，點G和點F三等分HE。如果△BHG的面積是5，△CGF的面積是6，則△DFE的面積=?

分別過B點、C點、D點作EH的垂線，垂足分別是H'點、G'點、F'點。

梯形BH'F'D中，CG'是中線，所以CG' =( BH' + DF' )/2

又點G和點F三等分HE

因此△CGF的面積=(△BHG的面積+△DFE的面積)/2

所以△DFE的面積= 7

Alan Peng ， 李昌明 ， 詹為仁 (彰化縣永靖國中)， 宜蘭 fanny8314，p889013 ， 香港 vinskman，
dazzmoon1 ， 姜維 ，陳大一， 棟良  ，台灣VUVU， LMao ，郭順興(興桑)， paper.s319 ，
政大附中Ken ， HTSI 楊一峰，謝昀佐(台北縣溪崑國中)，  蔡承霖(台北縣淡水國中8年14班)，沈家任.