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時期

題目 解題

080529~080606

 

ABC,∠B=90∘,D、E、F分別在ABC邊上DEBF是正方形ABC面積是4,且AC=EF=

解題成功者:

北市萬華國中 李嘉倫, 李昌明,胡軍(大里顧德),辛亥年3C班蘇志勤(35),k1012ken,台中文大陳老,北縣光復國中楊佳晉,香港陳黃淑芳紀念中學 邱文浩,losser, 彰化員林晨樺補習班 陳先生,北縣新泰國中806 郭芳圻, 溫盛涵
Hung Hsiao-Hui ,森藍 ,陳建勳,李家瑞, 郭順興(興桑) , montana_chen,pong , 張裕晟(
ugiljals), 黃君豪,林建志(埔心顧德), Eddie Chen

by losser
080503~080514

△ABC的邊長是 2,D點在AC上且異於A和C兩點。若DEACDEEF,則四邊形CDEF面積的最大值 為何?

 

解題成功者:

李昌明,kuo shunhsing,北縣光復國中 楊佳晉香港陳黃淑芳紀念中學 邱文浩,森藍,李家瑞,胡軍(大里顧德),p889013,quark 龍帥,北市萬華國中 李嘉倫,montana_chen,Toby Wong ,埔心顧德 林建志,losser,劉珍銘,棟良,Yip Sun Ping Boris(The Chinese University of Hong Kong)
 

by 北縣光復國中 楊佳晉

 

080412~080422


表示的整數部份,例如:,試求=?

解題成功者:
李昌明,郭順興,香港陳黃淑芳紀念中學 邱文浩,香港陳黃淑芳紀念中學 高文湛
北市萬華國中 李嘉倫,柯竣嚴,p889013,大里顧德 胡軍,灝,Toby Wong,quark 龍帥 ,澳門聖羅撒女子中學中文部 戴琬欣,埔心顧德 林建志,montana_chen,張文田,森藍,方士維,李家瑞,
北縣新泰國中 陳彥螢

080329~080407

正△ABC的邊長是2,正△CDE的邊長是4,如果B點、C點和D點在同一直線上,BE交AC於F點。試求△CEF的面積?

解題成功者:
北市萬華國中 李嘉倫,李昌明,sfwong(香港),森藍,紅魚,looser,夢哲,礁溪國小 陳奕翰,胡軍(大里顧德),北港國中 許宏瑋,montana_chen,:林建志(埔心顧德),
澳門聖羅撒女子中學中文部 戴琬欣,北縣新泰國中 陳彥螢,郭順興,嘟爸.雞蛋,
quark ,鴿吻 ,Kytu,pong,Toby Wong

△ABF ∼ △CEF

AF:CF = AB:CE  = 1:2

△ABF面積:△CEF面積 = 1²:2² = 1:4 (邊長平方比)

即 △CEF面積  = △ABF面積 × 4

△ABF面積:△ABC面積 =1:3

△ABF面積=(4√3/4)×1/3=√3/3

因此△CEF面積  =√3/4= 4√3/3



 

080315~080321

有規律的數列  22 - 2,32 - 3,42 - 4,...,982 - 98 ,試問在這97項之中有幾項是 7 的倍數?(數列的第a項是a2 - a)

解題成功者:

北市萬華國中 李嘉倫,李昌明
高文湛(香港屯門區仁愛堂陳黃淑芳紀念中學),邱文浩(香港屯門區仁愛堂陳黃淑芳紀念中學),p889013,
大里顧德 胡軍,Toby Wong,陳懷家,北縣大同國小 顏嘉佑,montana_chen,looser,李家瑞,桃園埔心 林建志 ,pong,m-Leo,北港國中  李鴻瑋
 

a2 - a=a(a-1)
a=7h,h=1,2,....,14或
a=7k+1,k=1,2,...,13
共27個a值,所以有27項是7的倍數






 

080228~080306

彥螢在文具行購買鉛筆和原子筆,本來打算買5枝A牌鉛筆和5枝B牌原子筆,卻發現身上的錢不夠35元。只好改買4枝A牌鉛筆和3枝B牌原子筆,付帳後身上還可剩餘47元。如果瑋倫也在這家文具行購買A牌鉛筆2枝和B牌原子筆4枝,則瑋倫需要付帳多少元?

解題成功者:

李昌明,胡軍,陳彥螢(北縣新泰國中),
邱文浩(香港陳黃淑芳紀念中學),顏嘉佑(北縣大同國小),李嘉倫(北市萬華國中),
montana_chen, Alex Wang,高文湛(香港陳黃淑芳紀念中學),黃羽萍(北縣明志國中72135),losser, Jesic chang,Ivy Chen ,chg(及人中學),pong,棟良,陳懷家

設鉛筆每支x元, 原子筆每支y元

5x+5y-35=4x+3y+47

化簡為x+2y= 82 

因此 2x+4y=2×(x+2y)=164 

所以瑋倫需付 164元





 

 

080217~080224

圓內接△ABC的三邊長分別是AB=17,BC=25,AC=26,試求此圓的半徑長?
(請儘量用國中數學觀念解題,不用三角函數)


解題成功者:

李昌明,ab0123,胡軍(大里),102,
montana_chen,夢哲,邱文浩(香港中三級),林俊男(嘉義),小哲

O點是圓心
作CD⊥AB於D,令AD=x,則BD=17-x
262-x2=252-(17-x)2
得x=10,CD=24。
因為∠DAC=∠POC,且
∠ADC=∠OPC=90∘,因此△DAC~△POC,
所以CD:AC=CP:OC,
24:26=25/2:OC,
24:26=25/2:OC
半徑OC=325/24。

 

 080130~080213


梯形ABCD中∠A=∠B=90°,AD=AB= a,BC= b。若 DF 平分∠ADC,且AF= c,則CD長多少?
( 以a、b、c 的式子表示 )

解題成功者:
李昌明,looser,顏嘉佑(北縣樹林大同國小),胡軍(大里顧德),李家瑞,蔡旻翰,Toby Wong,Geary,陳彥螢
(台北縣新泰國中),小哲,p889013,Cheng Theta

此題答案的表示法不唯一

延長BC,取CE= a-b,取EG= c
則△DEG
△DAF,因此∠4=∠1且∠EGD=∠AFD。
...(1)
已知∠1=∠2,所以∠4=∠2。
因此∠4+∠3=∠2+∠3,即∠CDG=∠EDF。
又因為∠EDF=∠AFD,所以∠CDG=∠AFD。...(2)
由(1)(2)知∠CDG=∠CGD
所以CD=CG= a-b+c。
 

080118~080129

從1,2,3,...n-1,n這n個連續自然數移去5個連續自然數,如果原來n個數的平均值與移去後剩下的 n-5個數的平均值都是33,試求移走的5個連續自然數?

解題成功者:
Toby Wong,李昌明, looser, 胡軍(大里顧德),cchjudy,
黃 51811,李秉霙(北縣樹林大同國小),顏嘉佑(北縣樹林大同國小),陳彥螢(台北縣新泰國中),montana_chen,李龍欣,李家瑞,pong,黃穎宣,蔡嘉誼,p889013,張天昀


原來n個數的和= 33n,
而在移去後剩餘的n-5個數的和= 33(n-5),
相差值就是移去的5個連續自然數的和。
假設移去的連續5個數為 x-2,x-1,x,x+1,x+2,則
5x=33×5 得 x=33
所以5個連續自然數為31,32,33,34,35






 

 

071226~080103


右圖,3個全等的正六邊形,邊長是 1。試求AB長 ?





解題成功者:
ab0123,陳文傑,吳政儒,胡軍,
Jesic.Chang,溫盛涵,p889013 ,
李昌明,montana_chen,李家瑞 ,
林海灣,詹為仁(彰化縣永靖國中),
張立凡(台北縣福和國中 7年級 38班 )
洪濟賢,蕭安超,looser,
顏嘉佑(台北縣大同國小),吳華民,
Liu.Tai-Yi ,Orion,
陳韜光(桃園縣桃園市青溪國中八年級)
Toby Wong

071207~071218

鉛筆的橫切面是每邊長都是X公分的正六邊形,若將鉛筆在桌面上滾動,試問A點從滾動前所在位置,經滾動再次回到桌面(如上圖),A點所經過的軌跡長度是多少公分?

解題成功者:

李家瑞,胡軍,李昌明,詹為仁(彰化縣永靖國中 ),吳孝仁,p889013,,montana_chen,顏嘉佑(台北縣大同國小),謝東育,陳文傑,陳彥螢(台北縣新泰國中)

 

圖解如上,五個扇形(紅色虛線)的弧長相加的總和即為所求。
五個扇形的圓心角都是60∘,從左而右的半徑分別是x2xx。所以
A點所經過的軌跡長度是

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071117~071123

 
三個質數a、b、c,滿足

a×b×c=29×(a+b+c),試求此三個質數?



解題成功者:

李昌明, pan , leon4326 ,凱西 , 張天昀 ,顏嘉佑(北縣大同國小) ,ab0123 , jean ,chun fuk chor(香港) , 李家瑞 , 黃柏諺 , John , 陳彥螢(北縣新泰國中),pong,曾耀賢(北縣新泰國中), 胡軍, 棟子 ,潘柏如(台中市立光明國中),montana_chen,黎明 ,邱子嚴,張明純(台南縣文賢國中)

 

a×b×c=29×(a+b+c),29是a×b×c的因數

因為a、b、c都是質數 ,所以其中一數為29

令 a=29

29×b×c=29×(29+b+c)

b×c=29+b+c,bc-b-c+1=30,(b-1)(c-1)=30

當30=1×30時,可得三質數為 2、29、31

 

 

071102~071112

 


自然數刪去2的倍數,再刪去3的倍數,最後又刪去5的倍數。留下了1,7,11,13,..........,試問在這一序列數當中的第720個數是多少?

解題成功者:

李昌明,陳麗旭,胡軍,蔡伯仁,陳彥螢(北縣新泰國中),Frank Lin,chun fuk chor(香港),montana_chen,吳孝仁,曾耀賢(北縣新泰國中),黃柏諺,leanne(南縣文賢國中),顏嘉佑(北縣大同國小)

[2,3,5]=30,
從自然數中刪去2的倍數,再刪去3的倍數,最後又刪去5的倍數
  1~30 ,留下了 1, 7,11,13,17,19,23,29
31~60 ,留下了31,37,41,43,47,49,53,59
61~90 ,留下了61,67,71,73,77,79,83,89
………………
每一區段都有8個數,而且
每一區段的最後一個數分別是29,59,89...,其相鄰兩數相差30....(1)
因為720÷8=90………0
所以求數列(1)的第90項
即29+30×(90-1)=2699..........ANS

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