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題 目

參 考 解 題

5/13-5/17
有一塊常見的三角板(如右圖△ABC,∠ACB=60∘
,∠ABC=90∘),原本是橫放在桌上的。如果以C點為中心,把三角板豎直站起,這時直角邊AB順勢移到了ED的位置。 粉紅色部份是
AB所掃過的區域,請你計算出它的面積?
(已知AB=12cm,圓周率以3.14計算)

貓瑪 e-mail

5/13-5/17題:我的想法很簡單噢!
以AC為半徑的扇形,圓心角為120度
AC長為(8根號3),所以大的扇形面積=64'拍'
挖掉小扇形面積,半徑恰是AC的一半
所以小扇形面積是=16'拍'
粉紅色面積=3.14(64-16)=3.14x48=150.72
哎!用文字表數學,超困難!

3/ 15 ~ 4 / 6
、乙、丙3人參加100公尺賽跑,每人各維持一定的速率跑完全程。甲比乙快5公尺到達終點,乙比丙快10公尺到達終點,則甲比丙快多少公尺到達終點? 

林金正 e-mail茶碗蒸 e-mail東明 e-mail徐sir e-mail卓sir e-mail
王棟良
e-mailclever e-mailsteven e-mailKat e-mail

距離與速度成正比,甲乙丙三者的速度比可從相同時間所跑距離著手,再利用甲比乙是100比95,而,乙比丙是100比90,所以甲比乙比丙是100比95比85.5,據此推算甲比丙早到14.5公尺。

 10/ 24 ~ 11/ 9
正方體,有
8個頂點,6個面。如果分別在各頂點標示12345678等數字,並使每一面的4個頂點的數字和都一樣。則每一面的4
個頂點的數字和是多少?
 

dumanis, joe e-mail ,Jay e-mail ,Kenny,  kf e-mail ,Biejian,信豪 e-mail
,傅綺春
e-mail ,EX1011, jun, 何韋德 e-mail , 红乐, alieen

一個點接三個面,所以每一面的數字合加起來是:
(1+2+3+4+5+6+7+8)×3=36×3=108
總共有六個面,所以是108÷6=18

 

9 / 24 ~ 10 / 5
在長方形ABCD內有一點P,PA= 3,PB= 4,PC= 5。則PD長是多少?

辛賢楷 e-mail提供做法

這題可用最簡單的畢氏定理作解析幾何
作一直線平行ad交ab於h交cd於m
再作一直線平行ab交ad於n交bc於k
則令ha=md=x hb=mc=y an=bk=z nd=ck=s
則得x2+y2=9 y2+s2=25 y2+z2=16
得 pd=根號18=3根號2

6/ 16~ 6/ 30
三位阿兵哥離營房有6公里。已經晚間9點10分,他們必須在10點前歸營報到。走路要花一個半鐘頭。他們有一輛腳踏車,騎半個鐘頭可以回到營房,這輛腳踏車可以兩人共騎。他們能及時回到營房嗎?如果可以,他們是如何做到的?

即時解答(6/16~6/30)網友提供flash解題
美術館的某個展覽中有一個現代雕塑作品,如圖。該作品為一菱形的不袗,其中有一頂點接觸地面,其他三個頂點各有一根垂直地面的柱子支,柱子的長度分別為a、b、c(a>b>c),a=5.2公尺,b=2.8公尺則c是多少公尺?
(91年度台北區數理資優聯合甄選試題)

 x=(2.8+c)/2=5.2/2,因此c=5.2-2.8=2.4

 

 

4/ 6 ~4/ 21
阿丹、阿珍、阿牛在一家醫院擔任住院醫

(1)
一星期中只有一天阿丹、阿珍、阿牛三位同時值班。
(2)他們三人沒有一位會連續三天值班。
(3)他們其中任兩位在一星期中同一天休假的情況不會超過一次。
(4)阿丹在星期日、星期二和星期四休假。
(5)阿珍在星期四和星期六休假。
(6)阿牛在星期日休假。
他們三位會在星期幾同時值班呢?




















 

EVA e-mail 解答
.....日 一 二 三 四 五 六
丹 休 班 休 班 休 班 班
珍 班 休 班 班 休 班 休
牛 休 班 班 休 班 班 休
註:休:休假,班:上班
由上表可知三人同一天上班應是星期五

華華&阿宏解答

這是按照題目規定的休假表

 日一二三四五六
丹休 休 休  
珍    休 休
牛休
因為不能連續值班三天,所以珍必定在日、一、二中要至少休一天。但日、二丹已休,且星期四丹、珍共同休,所以珍只能休星期一,如下表:
 日一二三四五六
丹休 休 休  
珍 休  休 休
牛休
再來看牛的,因為不能跟丹同日休,故不能休二、四。如果休星期一,因不能連值班三天,所以星期三必休假;或是不休星期一,那也因為不能連值班三天,所以星期三也必休假。結論,牛必休星期三,如下表:
 日一二三四五六
丹休 休 休  
珍 休  休 休
牛休  休
所以,很明顯,會共同值班的只剩星期五啦

2/ 6 ~2/ 28
漁夫頭戴一頂心愛的草帽,坐在小舟上釣魚。河水的流動速度是每小時3公里,小舟以同樣的速度順流而下。「我得向上游划行幾公里,換個地點,這裡的魚兒都不願上鉤」漁夫自言自語的說。正當他開始向上游划去時,一陣風將他的草帽吹落河水裡。然而,漁夫並沒有注意到他的草帽丟了,仍然向上游划去。一直到船與草帽相距5公里時,他才發現帽子不見了。他立即掉轉船頭,向下游划過去,終於追上了在河水中漂盪的草帽。在平靜的河水中,漁夫划行的速度總是維持每小時5公里。如果漁夫在下午2時丟失草帽,那麼他何時找回心愛的草帽呢?

 

大清胤禎 e-mail  解答
設漁夫失去草帽到知道失去草帽的時間為x
,知道失去草帽到找到草帽的時間為y
則(5x-3x)+3x=5km.....x=1
又5y+3y=5+3y y=1
2+1+1=4
得找到草帽的時間為下午四時.

EVA e-mail  解答
順流船速為8km/1hr,逆流船速為2km/1hr,所以當漁夫和帽子相距5公里時,表示他已逆流划行2公里而帽子也順流漂了3公里,此時應是下午3點鐘,這時漁夫是以時速8公里的速度回頭追順流水速每小時3公里的草帽,因此他只需花1小時便可追到,此時應是下午4:00

12/ 29 ~1/ 12
正方形的邊長是10,分別以兩個頂點為圓心,邊長為半徑作兩個四分之一圓。試求圖中粉紅色區域的面積?

EVA e-mail Etta e-mail解答
利用兩扇形的交點分別和正方形兩頂點連線
,可得一每邊長10的正三角形,面積為a,兩扇形扣除此部份剩下的正好是兩個半徑為10圓心角30度的扇形,面積為b,因此粉紅區域的面積為100-a-b

11/ 20 ~12/ 9
有一個容積是250毫升的圓柱形的量杯。量杯上除了150毫升和50毫升的刻度之外,其餘的刻度都因磨損而不清楚了。另有一個無刻度的圓柱形大容器。如果創創可以在大容器內量得125毫升。他是如何做到的,最少要量多少次?如何量呢?

11/ 3 ~11 / 17
守守
到便利商店影印資料,影印50張以上可打八折,影印100張以上打七折。守守本來要影印的張數介於50~100張之間,但是守守卻發現影印100張反而比較便宜, 請問他影印多少張?

設守守要印的張數為x+50張(x>0)
則可得知(x+50)*0.8>100*0.7 得x>87.5,
守守影印的張數可能是88,89,90,....,99張。

EVA e-mail meichuan e-mail 路人乙 e-mail
提供解答,可參見解答留言板

10.21~10.31
創創
住在新莊大道,這條大道上的房子編號是從13號 到1300號。守守想知道創創所住的房子的號碼。
守守問道:它小於500嗎? 創創作了答覆,但他講了謊話。
守守問道:它是個平方數嗎? 創創作了答覆,但沒有說真話。
守守問道:它是個立方數嗎? 創創回答了並講了真話。
守守說道:如果我知道第二位數是否是1,我就能告訴你那所房子的號碼。
創創告訴了他第二位數是否是1,守守也講了他所認為的號碼。但是,守守說錯了。
試問 創創住的房子是幾號?




(Joky老師 e-mail提供)
從四個回答之中, 能一次將範圍縮到最小的就
是立方數, 若此數不是個立方數, 則推估在有限的範圍內無法回答(不論是守守或是我們)
所以我的基礎設此數是個立方數---
在13-1300共有八個立方數,從3到10,
而3-10的立方數中,64和729的立方數亦是平方數,27,125,216,343,512,1000則不是....
若守守得到創創的回答"它是個平方數",那麼他就不用再問第四個問題才曉得,因為他在問第一個問題時就可以判斷是哪一個了,所以創創當時的回答是"它不是個平方數"(但是他說謊)
再來在27,125,216,343 以及 512,1000這些數字之中,有哪一個可以在問第四個問題時就可以二選一的方法得到...當然是後方那組的數字,也就代表創創得到守守的第一個問題回答是"這數字大於500"(不過守守說謊)
所以這是個立方數,也是個平方數,而且小於500, 所以答案就是64

mpp e-mail EVA e-mail 提供解答,可參見解答留言板

10.1~10.15
信封長16.2公分,寬11.4公分,如果將它折成一個沒底的三角柱(如右圖),這個三角柱的體積最大值是多少立方公分?

SCTSAY e-mail 提供
DE=BE=根號5
DB=根號10
三角形DBE為等腰三角形
作EF垂直DB交會於F點
由畢式定理發現,EF=FB
且三角形EFB為等腰直角三角形
故角DBE=45度
Waster提供
設F是AB上的一點,使DF垂直於AB,設G是BC上的一點,使EG垂直於BC
DF=6,FB=2,EG=4,BG=2
根據畢氏定理,BD=2*根號10,BE=2*根號5
將圖座標化,設A是(0,0)
B(4,0),E(6,4),D(2,6),連接DE
BE的斜率=2,DE的斜率=-1/2
BE的斜率*DE的斜率=-1,所以BE垂直於DE
BD=2*根號10,BE=2*根號5,根據畢氏定理,DE=2*根號5
所以DE=BE,設H是BD上的一點,使EH垂直於BD,BH=根號10
根據畢氏定理,EH=根號10,所以BH=EH
所以角DBE=45度
Allen e-mail 提供
做△ABD,△BCE的高,分別交AB,BC於G點,H點,可算出高為6,4,做直線EF⊥DG,連接直線DE,因為△ABD,△BCE都是等腰三角形,所以EF=GB+BH=4,DF=DG-EH=2,根據商高定理,DE=2√5,BE=2√5,DB=2√10,是特殊直角三角形,DE:EB:DB=1:1:√2,∠DBE為45°

8/16~8/31
健銘達鈞貴兆峻鳴四位同學賽跑,總共四次。成績顯示,健銘贏了達鈞3次;達鈞貴兆3次;貴兆峻鳴3次。或許你會說,峻鳴成績最差,其實他還贏健銘3次。你知道這四場比賽的結果嗎?

[解答由李卓豪 e-mail 提供]
設健銘1鈞達2 貴兆3 峻銘4
名次
1. 1 2 3 4
2 .4 1 2 3
3 .3 4 1 2
4 .2 3 4 1
統計起來,每個人都得過1.2.3.4名。也就是說每個人的成績都是一樣的,所以這場比賽的結果應該是平手。

正確解答者:
綠蠵龜,霞茜 e-mail
,紫菜,李卓豪 e-mail,vulm e-mail  ,EUGENE e-mail, wl, 陞 e-mail ,宜璟, Tony(達鈞), 陳自賓 e-mail ,王新怡 e-mail
8/1~8/14









上圖有一個「STOP」字,同心圓中,大圓半徑是8,小圓半徑是6。則 S、T、O、P 的面積分別是多少?
面積如下:

S: 42pi
T: 88
O: 28pi+56

P: 14pi+60

大佳 e-mail 宛真 陳自賓 e-mail
解答正確
7 / 9 ~ 7 / 23

長方形ABCD,AB>BC,將它捲成直圓柱體。方法一:將AD、BC接合。方法二:將AB、DC接合。請說明哪個方法捲成的直圓柱體的體積比較大。

[答案阿鲁 e-mail 提供]

圆柱的体积等于侧面积与半径乘积的一半,侧面积相等,半径大的1法卷成的圆柱体当然大了。

安安 e-mail幕之內 e-mail 的答案也值得參考.

6 / 23 ~ 7 / 7 
以邊長為1的小方塊,堆成邊長是4的正方體。如果將左圖的六個面塗上不同顏色的油漆後,再拆開。有三面被塗漆的小方塊有幾個?有二面被塗漆的小方塊有幾個?有一面被塗漆的小方塊有幾個?
如果將題目作延伸,將邊長為1的小方塊,堆成邊長是N的正方體,那麼上述各問題的結果如何?


[答案由安安老師提供] e-mail  Homepage
來福
e-mailEric e-mail解法正確

每邊4個小正方塊的正立方體
三面被塗顏色的---在正立方體的每個頂點
共有8個頂點,所以有8塊
二面被塗顏色的...在正立方體的每條邊上都有2塊
共有12條邊,所以有2塊×12=24塊
一面被塗顏色的,...在正立方體的每一個面上都有4塊(每個面去除周圍的小方塊)
共有6個面,所以有4塊×6=24塊

答:三面上色的有8塊
二面上色的有24塊
一面上色的有24塊

若由N個小方塊堆積成的正立方體
則三面上色的有8塊
二面上色的有(N-2)×12塊
一面上色的有(N-2)×(N-2)×6塊

90.5.27
阿貴是一位農夫,他有一塊長方形農地種植梨子,為了便於經營,他把農地分成15個方塊,每個方塊的梨子平均年產量如上表所示(單位是公噸)。阿貴年歲已大,想把農地平均分給三個子女,請你幫阿貴將農地分成三大區,同一區內的方塊要相連,且每一區的梨子年平均產量總和相等。你要如何分配呢?  (建中90推甄試題)

[答案由Biejianchen1027 e-mail提供]





90.5.12

有6個木桶,每一個桶內全部裝滿酒或者醋。桶上的數目標示著該桶所裝液體的容量,分別是9,15,17,12,27,19公升。已知一公升酒的價錢是一公升醋的三倍。有一位顧客買走了其中五桶,他買這些酒和醋時各付了462元。請問留下的是哪一桶?又一公升酒的價錢是多少元?  
(建中90推甄試題)

 

 

 

 

 

 

 

 

[答案由Biejian提供]
由於一公升酒的價錢可買三公升的醋,因此我們可以知道462元可買醋的容量為同價錢酒的三倍,所以分析六桶木桶的容量,可得知此人所買的是9及12公升的酒,17,27及19公升的醋。故剩下15公升的木桶,且一公升的酒為462/21= 22元。

[答案由安安老師提供] e-mail
我的想法是:
因為1公升的酒的價錢是1公升醋的3倍,又五桶中的醋和酒所付的錢數相同,所以可推出醋量是酒量的3倍。分析6桶的數字,9 是3的倍數 3×3,15 是3的倍數 3×5,17 不是3的倍數,12 是3的倍數 3×4
27 是3的倍數 3×9,19 不是3的倍數,想法一:留下的那桶不會是17公升和19公升的其中一桶,因為無法與其它配成3倍關係。
想法二:17公升和19公升一定是同一種溶液(如同是醋或同是酒),因為無法分別單一與其它桶配成3倍關係。
想法三:17公升和19公升合起來是36公升(是3的倍數 3×9),一定是醋,不可能是酒,因為若是酒,則其餘的醋量不可能湊足3倍,也就是108公升那麼多醋了,剩餘的是:9公升(3的3倍)、15公升(3的5倍)、12公升(3的4倍)、27公升(3的9倍)。已知 醋 17+19=36(3的12倍),若再加上27(3的9倍),共是63公升(3的21倍)也等於9+12=21公升(3的7倍)的3倍
所以可以知道 醋買了17公升+19公升+27公升=63公升 花了462元酒買了9公升+12公升=21公升 花了462元則平均酒一公升是22元,剩下的那桶是15公升。

90.4.9

△ABE是等腰直角三角形,AD=CE=3,△ADF 和 △CEF的面積孰大?大多少?




[答案由阿呆 e-mail   提供] 

(Biejian  大雄  e-mail 安安老師e-mail  Homepage亦有很棒的解法)

設 AB = X.
三角形 ABE 的面積 = (X^2)/2
三角形 DCB 的面積 = (X-3)(X+3)/2 = [(X^2)-9]/2 = (X^2)/2 - 9/2
故 AEB - DCB = 9/2
由於
AEB = ADF + DFBE
DCB = CEF + DFBE
故三角形 ADF 比三角形 CEF 的面積大 9/2


.3.18
如果N是正整數,1、2、3、.......、2N的最小公倍數和N+1、N+2、N+3、.......、2N的最小公倍數是相同的』,考古學家曾在埃及金字塔的木乃伊石棺蓋上,發現一個數字,對當時的就有如此的數學研究發展大感驚嘆,而它就與上述性質密切相關。此數字是能被1、2、3、.....、10整除的最小正整數。你知道這個令考古家驚嘆的數字嗎?

[答案由安安老師提供] e-mail  Homepage

能被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10整除的最小正整數,即是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的最小公倍數
所以只要找出6,7,8,9,10的最小公倍數即可

答案是 2520

(正確解答者:Biejian、憶雲)

90.3.3
24個正方形組成右圖。如何將它分成4個全等(大小一樣、形狀相同)的圖形。

[答案由大雄提供] e-mail
最麻煩的是右上方的凹位。

反覆整理下只弄出兩對形狀相反的圖形:

90.2.15

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚是七個由 1~7的正整數,其中,甲+丙=乙,丙+戊=丁,戊+庚=己。請找出它們所代表的整數。

[答案由安安老師提供] e-mail  Homepage
甲+丙=乙.....(1)
丙+戊=丁.....(2)
戊+庚=己.....(3)

刪除第(2)式
可得知(甲+丙)+(戊+庚)=乙+已
又七數總和為28
所以丁可能為2,4,6三數
(因為總和扣除丁後要能平分為2個整數才行)
但沒有兩數和為2,除了1+1外,所以2亦不可能,
所以
當丁為4時有兩組解答
2534176(依甲乙丙丁戊己庚之位置排列)
6714352
當丁為6時亦有兩組解答
2756143
3416572


90.2.1
試著找出滿足下列式子的六個數字A、B、C、D、E、F。
ABCDEF ×1 = ABCDEF;ABCDEF ×2 = CDEFAB
ABCDEF ×3 = BCDEFA;ABCDEF× 4 = EFABCD
ABCDEF× 5 = FABCDE;ABCDEF× 6 = DEFABC

 

 

 

 

[答案由Lisa提供]e-mail
此題可用一元一次方程式解。原數十萬位A必為1,如果是二以上則乘以六倍時進位到百萬位,所以A必為一。
1BCDEFx3=BCDEF1
設BCDEF為X,則:
3﹝100000+X﹞=10X+1
解方程式:
300000+3X=10X+1
299999=7X
X=42857
X=42857=BCDEF
套入原數得ABCDEF=142857
所以A=1 B=4 C=2 D=8 E=5 F=7

90.1.20
7個空格中,放進1,2,3,4,5五個數字。每次移動相鄰的兩個數字,如何以最少的移動次數,將「12345」移位成「54321」呢?

[答案由安安老師提供] e-mail  Homepage

我的方法是:(^-^我只想到"天龍八步")
原式:12345□□
第一步12□□534
第二步1253□□4
第三步1□□3254
第四步132□□54
第五步□□21354
第六步54213□□
第七步54□□321
第八步□□54321

90.1.12
取出一元硬幣,試看看它能被幾個相同的硬幣緊緊圍繞住呢?

 

 

 

[答案由大雄提供]
只要是相同大小圓形的硬幣,答案都是六個。
解釋:
設硬幣的半徑為 r. 當外圍的硬幣緊緊繞著它們的「弟兄」時,它們會和兩旁的硬幣和中心的硬幣相連,形成兩個以自己為頂點,邊長 2r 的等邊三角形。由於等邊三角形的每一個角均為 60 度,因此中心的硬幣最多只能成為六個等邊三角形的頂點,故它最多只能被六個同樣大小的硬幣緊緊圍繞著。

90.1.4
衣櫃裡有6隻白色襪子,6隻黑色襪子。它們除顏色不同之外,其他都一樣。如果身處漆黑中,由衣櫃取出兩隻顏色相同的襪子,最少要從衣櫃中拿出幾隻襪子,才能確保其中有兩隻襪子顏色相同呢?

[答案由大雄提供]
3 隻,因為只有黑白兩色,所以抽了 3 隻後配搭如下:
白白白、白白黑、白黑白、黑白白、黑黑白、黑白黑、白黑黑、黑黑黑,故一定會有兩襪同色。

89.12.12
甲乙兩人以同樣的速度,由A點出發,分別沿著紅色和綠色道路到B點。兩人誰先到達呢?

[本答案由羽真提供]
左綠小圓半徑x
右綠小圓半徑(2r-2x)/2=r-x
所以綠長=(1/2)*2x*pi+(1/2)*2(r-x)*pi
=x*pi+(r-x)*pi=r*pi=紅長

ps:
水奈,妃斐格格,無聊的璦,千千,清新O2也答的不錯

89.11.29
有一種神奇的豆子,將它放進一個瓶子堨H後,每過一分鐘,豆子的數目就變成之前一分鐘的兩倍。這樣過了整整一個小時後,瓶子終於滿了。那麽把兩粒這種豆子放入相同的瓶子後,過多久時間瓶子就會滿呢?

[本答案由羽真提供]
1->2,2->4,....
到全滿要一小時,以上每步驟都花一分鐘,當先放二粒即少掉第一步驟,所以花了60-1=59分鐘。

 

89.11.21

三個矩形面積分別是24、12、18。黃色區域的面積是多少?

[本答案由羽真提供]
等高時,面積比等於底之比。
假設黃色矩形面積是x,則 24:x=12:18,因此x=36.

89.11.4

在四邊形ABCD中對角線AC平分BAD在CD上取一點EBEAC相交於F延長DFBCG
試說明:
GAC=EAC

 

 

 

[本答案由羽真提供]

連接BD教AC於H
因為AC平分ㄥBAD所以AB/AD=BH/HD
又根據西瓦定理,得BH/HD*DE/EC*CG/GB=1
所以AB/AD*DE/EC*CG/GB=1
DE/EC*CG/GB=AD/AB
三角形ADE/三角形AEC*三角形ACG/三角形AGB=AD/AB,
設ㄥBAC=ㄥCAD=a
ㄥBAG=b,ㄥDAE=c
所以
(1/2*AD*AE*sinc)/(1/2*AE*AC*sin(a-c))*(1/2*AC*AG*sin(a-b))/(1/2*AG*AB*sinb)=AD/AB,
所以sinc/sin(a-c)*sin(a-b)*sinb=1,
sinc/sin(a-c)=sinb/sin(a-b),
當b>c,sinb>sinc,sin(a-b) 所以sinc/sin(a-c) <-
同理,當c>b時,sinc/sin(a-c)>sinb/sin(a-b),-><-
所以c=b
a-c=a-b
所以ㄥCAG=ㄥCAE

89.10.17
如果整數 a、b、c,使得 a 2 + b 2 = c 2,試說明 a、b 其中必有一數是 3 的倍數。

[本答案由張偉呂提供]
設a,b都不為3的倍數,令
a=3m+k(m為正整數或0,k=1,2),則a*a=9*m*m+6*m*k+k*k=3(3*m*m+2*m*k)+k*k(k=1,4),
這時a*a除以3的餘數=1,同理知b*b 除以3的餘數也=1,故c*c=a*a+b*b除以3的餘數=2......(1)
令c=3p+k(p為正整數或0,k=1,2)
則c*c=9*p*p+6*p*k+k*k=3(3*p*p+2*p*k)+k*k(k=1,4),故c*c除以3的餘數不等於2,(c*c除以3的餘數為0,或1)......(2).
(1)和(2)矛盾,故a,b 中必有一數為3的倍數。

89.10.9

D、 E分別是AC、AB邊上的中點,BC=10,BC邊上的高是8,F點是BC邊上任一點,求四邊形AEFD的面積?

 

 

 

[本答案由張偉呂提供],高斯、浪子、jack、吳家宇也提供正確答案。
(1)Because點E和點D分別位於線段AB、線段AC上,根據三角形中點連線性質知線段ED//線段BC,且三角形AED~三角形ABC,邊長比=1:2。
(2)Because四邊形AEFD=三角形AED+三角形EFD。
已知三角形ABC底邊線段BC長10單位,BC上的高為8單位,SO三角形AED底邊線段ED長5單位,ED上的高為4單位,得三角形AED面積=10平方單位。
Because線段ED//線段BC,不論F點在線段BC上的那一處,ED和點F的垂直高度必=4單位。
三角形EFD面積也=5*4*1/2=10
(3)四邊形AEFD=三角形AED+三角形EFD=10+10=20(平方單位)。

89.9.26

下列五個數中哪一個不等於其他任何一數?

(1997AMC國二試題)

1996/1997=1001x1996/1001x1997
=1997996/1998997
996/997=1001x996/1001x997
=996996/997997
所以答案是:19971996/19981997
[答案由atlantic提供]

89.9.17

 
六位數abcxyz乘以6,乘積是xyzabc,求原六位數?

設100a+10b+c為α,100x+10y+z為β
依題意可得6(1000α+β)=1000β+α
so......5999α=994β--->857α=142β
又α及β皆為三位數,α=142.β=857
而原數為142857

[答案由小軒提供]

89.9.4
10塊長7公分,寬5公分,高3公分的長方體積木拼成一個長方體,這個長方體的表面積最小是多少立方公分?

要使長方體的表面積越小,只需使得長方體拼合的面積越大。如果能够拼成正方體或接近正方體時,其表面積越小。拼完後,長方體的體積為:3×5×7×10=2×3×5^2×7。我們讓長方體的長寬高儘量接近。
2×3×5^2×7=7×(2×5)×(3×5)=7×10×15。其表面積為:(7×10+10×15+7×15)×2=650。
注意:解答本題的關鍵是:當體積一定時,正方體的表面積比長方體的表面積小。   
[答案由瑋瑋提供,張偉呂也有很好的想法。]

 

89.8.28
高山白天、晚上溫差很大,對於鬧鐘有明顯影響。傍晚快30秒,早晨慢20秒,如果今天8月28日零時整點,我將鬧鐘的時間準時校對調整。那麼,到了哪天將會快5分鐘呢?

整整一天,鬧鐘快10秒鐘,即1/6分鐘。過了27天,已快了4.5分鐘,此時是9月24日凌晨0時,所以應該在9月24日,鬧鐘會快5分鐘。

890820
做個夢吧,我們計劃用一條油管緊密的環繞地球一週,所需油管長約4萬公里。無耐製造廠造出的油管長比計劃的多出100公尺,如果在既定地方舖設,必須使用一些相等高度的柱子將油管撐高。請問柱子的高度是多少?

如果地球半徑是R公尺,柱子高x公尺,則2Π(R+x)=40000000+100=40000100,又2ΠR=40000100,所以2Πx=100,x=50/Π≒15.9,因此柱高約15.9公尺。

890813
一個有七位數字的正整數,它的百萬位數字是5,如果將這個5移位成為個位數字,就得到一個新數。而原來的七位數又比新數的3倍還多8,請問原七位數是何數?

 

假定前六位數是x,依題意
5000000+x=3(10x+5)+8,x=172413
因此原七位數是5172413

( 小軒 提供解答 )

890806
有三種物品,每件的價格分別是20元、40元、60元。現在用600元購買這三種物品,總共買16件,恰好花掉600元。那麼,最多買了幾件60元的物品?又最少買了幾件20元的物品呢?

假設買了20元的x件,40元的y件,60元的z件,則 x+y+z=16 ,20x+40y+60z=600 。因此,y=14-2z,x=z+2,y≧1,z≧1。所以z≦6,x≧3。即60元的最多買6件;20元的最少買3件。

890730
現在有11個砝碼,其重量分別是1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024公克。如果要秤2公斤的重物,需要以上哪些砝碼?

如果以二進位表示2000,得11111010000,所以2000 = 

210 +29 +28 +27 +26+24 =1024+512+256+128+64+16。

890723
現在有3個門,其中一個門後面放的是一千萬,你可以選取其中一個門,當你選好後,有一個知道一千萬放在那個門後面的人把剩下不是放一千萬的那個門打開,然後問你要不要換選另一個門,這時候是換還是不換,拿到一千萬的機率比較大?
(題目由雨中小築提供)

其規則為:如果我現在每一次都換門,若選對了,那麼一定就變成錯的;若選錯了,那麼一定就變成對的,所以換門之後對的機率和選錯的機率一樣,也就是2/3.

(解題由雨中小築提供)

890716
在△ABC中 ,AB=AC 且 ∠A= 20 度,BE交AC於E點,∠ABE= 20度,CD交AB於D點,∠ACD= 30度,連接DE,則∠DEB是多少度?

 

 

1).∠FBC=20°,交AC於F點。
2).因為
∠ABC=80°,∠BCD=80°,因此,BC=BF。
3).因為∠ABC=80°,∠BCD=50°,因此,∠CDB=50°,所以BC=BD。
4).由2)3)知BF=BD。又∠DBF=60°,所以BF=FD。(
△DBF是正△)
5).∠BEF=∠BAE+∠ABE=20°+20°=40°。又∠EBF=40°,因此FB=FE。
6).以F為圓心,FE為半徑作圓。此圓過E、D、B點。
7).
2∠DEB=∠DFB=60°,所以∠DEB=30° 。

890708
某月裡有三個星期日的日期是偶數,請推算該月15日是星期幾?
並說明之。

每個月裡,日期是偶數的,由小到大依序是 2、4、6、28或30。我們可以假設這個月的2日是星期日,那麼,本月的16日、30日都是星期日,符合題意要求。因此,這個月的15日是星期六。
  其實,一個月最多只有31天,如果這個月的4日是星期日,那麼第三個星期日就是4+28=32(日),這和事實不符,只要了解這個道理,對於解這道題就能迅速的作出正確判斷。

890701
△ABC是正三角形,邊長是 2。
(1).分別以三個頂點為圓心,AB為半徑作  
  圓,求其重疊區域ABC的面積?
(2).分別以三個頂點為圓心,△ABC的高為半徑作圓,求其重疊區域DEF的面積?

大家再想一想。

加油。

890624
在同一時間,創創從A點沿逆時針方向,繞圓等速前進,不化蟲從B點沿順時針方向,繞圓等速前進。第一次在C點相遇,第二次在D點相遇,如果AC弧長 3,BD弧長 1。求圓周長?(AB是直徑)


假設半圓周長是 x ,因為兩人皆以等速繞圓而行,依題意:
3:( x -3 ) = ( x-3+1):( 3+x-1)
x2 -8x= 0,x= 8,0 (不合)
因此,圓周長是16。

890617
創創到市場買了西瓜和鳳梨,老闆分別秤過,說是 5 公斤和 2 公斤。回家後,創創將西瓜、鳳梨一起秤,卻只有 6 公斤。這可能嗎?請你說明看法。

5公斤、2公斤是測定值,是近似值。
4.5公斤≦西瓜實際重量<5.5公斤,
1.5公斤≦鳳梨實際重量<2.5公斤,
因此,6公斤≦西瓜和鳳梨實際重量和<8公斤,
所以,創創將西瓜、鳳梨一起秤,卻只 有 6 公斤。這是可能。


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