數學小語

 

「很多沒念過數學的人都把數學跟算數搞混以為數學是一門枯橾無味的科學,但其實這門科學需要無窮的想像力。」
~ 蘇菲亞•柯瓦列芙斯卡婭(Sofia Kovalevskaya ,1850∼1891) ~

Say what you know,do what you mustcome what may.
說你所知的,做你該做的,再順其自然。」
~ 蘇菲亞•柯瓦列芙斯卡婭(Sofia Kovalevskaya ) ~

短篇小說集《太多幸福》(Too Much Happiness)是2013年諾貝爾文學獎得主艾莉絲•孟若(Alice Munro)的作品,收錄了十篇故事,<空間> 、<虛構>、<溫洛克之崖>、<深洞>、<自由基>、<臉>、<某些女人>、<童戲>、<木頭>和<太多幸福>。同書名的這篇<太多幸福>故事是參考女數學家蘇菲亞柯瓦列芙斯卡婭的生平經歷所編撰。

 

延伸閱讀:柯瓦列芙斯卡婭(Sofia Kovalevskaya)


阿隆佐·邱奇(Alonzo Church,1903年6月14日~1995年8月11日)是美國數學家,對算法理論的系統發展貢獻極多。邱奇在普林斯頓大學40年,擔任數學與哲學教授。
曾說:「任何人都可以學會所有的數學。唯一的條件是耐心。」「但是,創造是另一回事。」


 

曾任教於英國劍橋大學的著名數學家 哈代(1877.2.7~1947.12.1) Godfrey Harold Hardy在其著作《A Mathematician's Apology》(一個數學家的辯白)一書中寫道:

歐幾里得如此深愛的反證法是數學家最精妙的武器之ㄧ。他是比任何弈法更為精妙的棄子取勝法︰棋手可能犧牲一只卒子甚至更大的棋子以取勝,而數學家犧牲整個棋局。
數學確屬美妙的傑作,宛如畫家或詩人的創作一樣是思想的綜合;如同顏色或辭彙的綜合一樣,應當具有內在的和諧一致。對於數學概念來說,美是她的第一個試金石;世界上不存在畸形醜陋的數學
 

 

安德魯·懷爾斯(Andrew John Wiles)在西元1994年證明出曾困擾數學家三百多年的費馬最後定理。他自述突破數學進展的歷程:「你進入大樓的第一個房間,裡面一片漆黑。你在家具之間跌跌撞撞,但是逐漸地你記住了每一件家具所在的位置。最後,經過大約六個月左右,你找到了電燈開關,打開了燈。突然,整個房間充滿了光明,你能確切地明白你在何處。然後,你又進入下一個房間,在黑暗中度過另一個六個月。因此,每一次這樣的突破,儘管有時候,只是瞬息間的,有時候要一兩天的時間,但它們實際上是這之前的許多個月裡在黑暗中跌跌撞撞的成就。沒有前面的跌跌撞撞,突破是不能夠出現的。

 

許多數學家認為他們的工作就像在攀岩,你想攀登到峭壁的頂端,但那並不是你立即注意的焦點。你的焦點是你難以碰觸到的下一個岩壁平台,因為你必須想出聰明巧妙的方法才能到達那裡。到達之後,你會再嘗試下一個岩壁平台。這種工作有一大部分是相當枯燥乏味,一點都不迷人。然而峭壁頂端就是不可能一躍而上。

 

楊振寧博士











波蘭裔美國數學名家S.M.Ulam的自傳「一個數學家的遭遇(Advanturesof a mathematician) 」,
該書294頁上寫道:「楊振寧,諾貝爾物理學獎獲得者,講了一個有關現時數學家和物理學家間不同思考方式的故事: 一天晚上,一幫人來到一個小鎮。他們有許多衣服要洗,於是滿街找洗衣房。突然他們見到一扇窗戶上有標記:『這裡是洗衣房』。一個人高聲問道: 『我們可以把衣服留在這兒讓你洗嗎?』窗內的老板回答說:『不,我們不洗衣服。』來人又問道:『你們窗戶上不是寫著是洗衣房嗎?』。老板又回答說: 『我們是做洗衣房標記的,不洗衣服』。這很有點像數學家。數學家們只做普遍適合的標記, 而物理學家卻創造了大量的數學。」』
       
摘錄自
數學傳播212期/楊振寧教授漫談: 數學和物理的關係

 

「對比其它科學而言,數學的發展更依賴於一層復一層的抽象。為了避免犯錯,數學家必須抓住問題和對象的精義,並把它們篩選出來。正確的推理無疑非常要緊,但更關鍵的是找到骨節眼上的問題。必須具有正確的直覺,才能夠選對最根本的問題。解決這些問題,對科學的整體發展,具有舉足輕重的作用。」--Elie Cartan--

「我越來越確信幾何的必然性無法被驗證, 至少現在無法被人類或為了人類而驗證, 我們或許能在未來領悟到那無法知曉的空間的本質。我們無法把幾何和純粹是先驗的算術歸為一類, 幾何和力學卻不可分割。」
給我最大快樂的,不是已懂的知識,而是不斷的學習。不是已有的東西,而是不斷的獲取。不是已達到的高度,而是繼續不斷的攀登。」 「數學中的一些美麗定理具有這樣的特性:它們極易從事實中歸納出來,但證明卻隱藏得極深。 ---高斯(Guass)---

「當人們發現兩顆石頭以及兩頭羊的共同點時,人類開始步入了文明時代。」
「數學,正確地看,不僅擁有真,也擁有至高的美。一種冷而嚴峻的美,一種屹立不搖的美。如雕塑一般,一種不為我們軟弱天性所動搖的美。不像繪畫或音樂那般,有著富麗堂皇的修飾,然而這是極其純淨的美,祇有這個最偉大的藝術才能顯示出最嚴格的完美。」

--伯特蘭羅素--

「興趣是成為數學家最重要的因素。」
「我認為自己是個解決了經濟學問題的數學家。」
「數學越來越多地被應用於經濟學。其實,在經濟學論文中應用數學會看上去很美。」
「人生是一種經歷,痛苦不僅是掙扎和鬥爭,也是一種體驗。成功與否在很多時候就在於有無堅強的信念,是否會有勇氣去付諸行動。」 「純粹的數學是美麗的。」 --
納許(John Nash)--

 

「Mathematics is the art of giving the same name to different things.」
「把不同的事情看成同一件, 這門藝術叫數學。」
「Poetry is the art of giving different names to the same thing.」
「把同一件事情說得不一樣,這門藝術叫文學。」

邏輯用於證明,直覺用於發明,沒有直覺,就像按語法寫詩,語法都對,卻沒有思想。

沒有已經解決或尚未解決的問題,只有或多或少解決了的問題。
 
--龐嘉萊(Henri Poincaré)--

「對職業的純數學家們來說,數學應該是一組精要中肯的假設,和另一組出人意表的結論,經由風格優雅的證明所兜成的邏輯式吻合。」
--哈模斯(Paul Richard Halmos)-- 

數學之所以比一切其他科學受到尊重,一個理由是因為數學的命題是絕對可靠和無可爭辯的,而其他的科學卻經常陷於被新發現的事實所推翻的危機之中。…數學之所以有高聲譽,另一個理由就是數學將自然科學實現定理化,付予自然科學某種程度的可靠性。
不要擔心你在數學上遇到的困難;我敢保證我遇到的困難比你還大得多。 」
Do not worry about your difficulties in Mathematics. I can assure you mine are still greater. 」
提出一個問題往往比解決一個問題更重要,因為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已。而提出新的問題、新的可能性、從新的角度去看舊的問題,卻需有創造性的想像力,而且標誌著科學的真正進步。     
 --
愛因斯坦(Albert Einstein)--

「凡存在皆合理。」「音樂是一種隱藏的算術練習,透過潛意識的心靈和數字交流。」

-- 萊布尼茲(Leibniz)--

丘成桐

「我對數學的興趣,源於人類智慧足以參悟自然的欣喜。」
理論的重要性必與其能解決問題的重要性成正比。一個數學難題的重要性在於由它引出的理論是否豐富。」 

--丘成桐-- 

 

「任何人對我的解題方法感興趣,都可以在那裡找到,讓他們去讀吧」
「我把所有的計算方法都發表出來了。這就是我能提供給公眾的東西」
 

 ---佩雷爾曼---  

    

如果你解不出某道題,那肯定是有一個更容易的問題你尚未解決 --- 找到它!
在寒冷的冬夜裡,當貓準備睡覺時,牠收捲起小腳,儘可能讓身體捲成球團一般。貓已經證明了這個定理:在給定一體積下,所有立體中,球面具有最小的表面容積。」
---G.波里亞(George Polya)---

 

幾何無王者之道
There is no royal road to geometry.

--歐幾里得(Euclid)--

如果用小圓代表你們學到的知識,用大圓代表我學到的知識,那麼大圓的面積是多一點,但兩圓之外的空白都是我們的無知面。圓越大其圓周接觸的無知面就越多。 --Zeno of Elea (芝諾)--

 

正如人類的每項事業都追求著確定的目標一樣,數學研究也需要自己的問題。正是透過這些問題的解決,研究者鍛鍊他的堅毅意志和力量,發現新方法和觀點,達到更寬廣的自由世界。
沒有任何問題可以像無窮那樣深深的觸動人的情感,很少有別的觀念能像無窮那樣激勵理智產生富有成果的思想,然而也沒有任何其他的概念能像無窮那樣需要加以闡明。
「我們必須知道,我們將會知道。」 「只要一門科學分支能提出大量的問題,它就充滿著生命力,而問題缺乏則預示著獨立發展的終止或衰亡。--希爾伯特(David Hilbert)--
   

 

「這就像是在問:為什麼貝多芬第九號交響樂曲很美。如果你看不出原因,就沒有人能告訴你。我知道數字很美。如果數字不美,就沒有美的東西。」
「數學是人類唯一永無止境的活動。我們可以想見, 人類最後會完全理解物理學和生物學。但是,人類永遠沒有辦法完全理解數學,因為這門科目無窮無盡。數字本身就是無窮無盡。」--艾狄胥--

陶哲軒

很多奧林匹亞數學競賽(IMO)獎牌得主後來沒有繼續數學研究的原因之一是,數學研究和IMO所需的環境不一樣,IMO就像是在可以預知的條件下進行短跑比賽,而數學研究則是在現實生活的不可預知條件下進行的一場馬拉松,需要更多的耐心,在攻克大難題之前要有首先研究小問題的意願。」 ---陶哲軒---   

「印度窮,沒有資本做軟體,但我們有最優秀的數學頭腦,絕對可以寫出最好的軟體」。
--印度軟體教父柯里(F.C.Kohli)--

 

「我不知道世界會怎樣看我,不過我覺得自己就像是沙灘上玩耍的小男孩,偶然發現一塊光滑的石子或美麗的貝殼;而在我面前的大海,卻蘊藏著無數未經發掘的真相。」

--牛頓(Newton) --

 

一個人就好像一個分數,他的實際才能好比分子,而他對自己的估價好比分母。分母越大,則分數的值就越小。  ---托爾斯泰--- (俄羅斯大文豪)



「一個高超的問題解答者必須具備兩種不協調的素養;永不安分的想像和極具耐心的執拗。」
   --Howard W. Eves--

和絕大多數數學家一樣,我不是哲學家。我們做數學,因為我們愛做數學,我們幾乎不考慮為什麼。很多哲學家會問這樣的問題:「數學是自在的並由數學家發現的,還是數學原本不存在而是由數學家發明的?」我所知道的每一個數學家都相信數學是自在的,我們只是發現者,但哲學家們可能窮盡一生追問我們是發現了還是發明了數學。---懷爾斯--- 

「數學家是在漆黑房間中找尋不知在何處的黑貓的盲者。」--( Charles R Darwin達爾文)--

「對數學問題無法抵擋的誘惑與追求,能讓人全神貫注,在無止盡的挑戰中得到心靈寧靜,這是沒有衝突的戰鬥,是擺脫纏身雜物的避難所,在今日令人應接不暇的花花世界,這就像不變的高山美景可供欣賞。」---克萊恩--- 

「正確敘述的反面是錯誤敘述,深奧真理的反面卻可能是另一個深奧真理。」---包爾(Niels Bohr)---
 
「把手中的石頭丟出去就能改變宇宙重心的中心點,這是一個可以用數學證明的事實。」--卡來爾(Thomas Carlyle)--

「數學也可以給我們一些簡單的方法,來保護我們不被無知所愚。就如物理學家費曼(Richard Feynman)有一回說過:「科學是學習如何不為自己所愚的漫長歷史。」有數學作為我們理念的後盾,能使我們自愚的程度減少,並降低激烈後果的發生。」--柯爾 (K.C.Cole)--  

「說到數學,如果人類早知道現實世界中沒有真正的直線、圓或絕對的數量,數學也不會存在了。」--尼采--

「數學的本質在於它的自由。」    --康托爾-- 

「在數學的領域中,提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要。」    --康托爾-- 

「數學是無窮的科學。」--赫爾曼外爾-- 

「問題是數學的核心。」--哈默斯-- 

「由於無窮小和無窮大的出現,一向合乎嚴謹道德觀的數學,失去上帝的恩寵......數學絕對正確與無可反駁的聖潔地位從此一去不返;數學進入爭論時期,大多數人計算微分或積分不是因為他們了解自己在做什麼,而是基於純粹的信心,因為到目前為止答案總是對的。
-- 弗來德里奇•恩格斯(Friedrich Engels)-- 

        


Copyright ©  昌爸工作坊 all rights reserved.