數學小語

「許多時候，當你研究數學時會卡住，但在同一時間你會對能夠處理這個問題感到榮幸。你會有一種卓越的感覺，而且覺得正在參與一些真正有意義的事情。」 
~Akshay Venkatesh (榮獲2018菲爾茲獎)

「數學中永遠有無限的問題等待解決，我的意思是，當你解決了其中一個問題後，就會有十個問題緊接著而來。數學是非常廣大的領域，我們每個人都只知道一小部分，但在我知道的那一小部分中，仍然有很多未解決的問題。那是很棒。」
~Peter Scholze (榮獲2018菲爾茲獎) 

「如果人們不相信數學簡單，只因為他們還沒有領悟到生命的複雜。」
 ~馮·諾伊曼(John von Neumann)  

「精巧的論證常常不是一蹴而就的，而是人們長期切磋積累的成果。我也是慢慢學習來的，而且還要繼續不斷的學習。」
~阿貝爾

「很多沒念過數學的人，都把數學跟算數搞混，以為數學是一門枯橾無味的科學，但其實這門科學需要無窮的想像力。」
「說你所知的，做你該做的，再順其自然。」
「數學家的靈魂深處，一定住著一位詩人。」
~ 蘇菲亞•柯瓦列芙斯卡婭（Sofia Kovalevskaya)

延伸閱讀:柯瓦列芙斯卡婭（Sofia Kovalevskaya）

「歐幾里得如此深愛的反證法是數學家最精妙的武器之ㄧ。他是比任何弈法更為精妙的棄子取勝法︰棋手可能犧牲一只卒子甚至更大的棋子以取勝，而數學家會犧牲整個棋局。」

「數學確屬美妙的傑作，宛如畫家或詩人的創作一樣，是思想的綜合；如同顏色或辭彙的綜合一樣，應當具有內在的和諧一致。對於數學概念來說，美是她的第一個試金石；世界上不存在畸形醜陋的數學。」 

 ~ 哈代 (Godfrey Harold Hardy)

安德魯·懷爾斯(Andrew John Wiles)在西元1994年證明出曾困擾數學家三百多年的費馬最後定理。他自述突破數學進展的歷程：「你進入大樓的第一個房間，裡面一片漆黑。你在家具之間跌跌撞撞，但是逐漸地你記住了每一件家具所在的位置。最後，經過大約六個月左右，你找到了電燈開關，打開了燈。突然，整個房間充滿了光明，你能確切地明白你在何處。然後，你又進入下一個房間，在黑暗中度過另一個六個月。因此，每一次這樣的突破，儘管有時候，只是瞬息間的，有時候要一兩天的時間，但它們實際上是這之前的許多個月裡在黑暗中跌跌撞撞的成就。沒有前面的跌跌撞撞，突破是不能夠出現的。」
「和絕大多數數學家一樣，我不是哲學家。我們做數學，因為我們愛做數學，我們幾乎不考慮為什麼。很多哲學家會問這樣的問題：「數學是自在的並由數學家發現的，還是數學原本不存在而是由數學家發明的？」我所知道的每一個數學家都相信數學是自在的，我們只是發現者，但哲學家們可能窮盡一生追問我們是發現了還是發明了數學。」
~懷爾斯

「許多數學家認為他們的工作就像在攀岩，你想攀登到峭壁的頂端，但那並不是你立即注意的焦點。你的焦點是你難以碰觸到的下一個岩壁平台，因為你必須想出聰明巧妙的方法才能到達那裡。到達之後，你會再嘗試下一個岩壁平台。這種工作有一大部分是相當枯燥乏味，一點都不迷人。然而峭壁頂端就是不可能一躍而上。」

波蘭裔美國數學名家S.M.Ulam的自傳「一個數學家的遭遇(Advanturesof a mathematician) 」，書中第294頁寫道:「楊振寧，諾貝爾物理學獎獲得者，講了一個有關現時數學家和物理學家間不同思考方式的故事: 一天晚上，一幫人來到一個小鎮。他們有許多衣服要洗，於是滿街找洗衣房。突然他們見到一扇窗戶上有標記:『這裡是洗衣房』。一個人高聲問道: 『我們可以把衣服留在這兒讓你洗嗎?』窗內的老板回答說:『不，我們不洗衣服。』來人又問道:『你們窗戶上不是寫著是洗衣房嗎？』。老板又回答說: 『我們是做洗衣房標記的，不洗衣服』。這很有點像數學家。數學家們只做普遍適合的標記， 而物理學家卻創造了大量的數學。」』       
摘錄自數學傳播21卷2期/楊振寧教授漫談: 數學和物理的關係

「我越來越確信幾何的必然性無法被驗證, 至少現在無法被人類或為了人類而驗證, 我們或許能在未來領悟到那無法知曉的空間的本質。我們無法把幾何和純粹是先驗的算術歸為一類, 幾何和力學卻不可分割。」
「給我最大快樂的，不是已懂的知識，而是不斷的學習。不是已有的東西，而是不斷的獲取。不是已達到的高度，而是繼續不斷的攀登。」
「數學中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏得極深。」
~高斯(Guass)

「當人們發現兩顆石頭以及兩頭羊的共同點時，人類開始步入了文明時代。」
「數學，正確地看，不僅擁有真，也擁有至高的美。一種冷而嚴峻的美，一種屹立不搖的美。如雕塑一般，一種不為我們軟弱天性所動搖的美。不像繪畫或音樂那般，有著富麗堂皇的修飾，然而這是極其純淨的美，祇有這個最偉大的藝術才能顯示出最嚴格的完美。」
~伯特蘭•羅素

「興趣是成為數學家最重要的因素。」
「我認為自己是個解決了經濟學問題的數學家。」
「數學越來越多地被應用於經濟學。其實，在經濟學論文中應用數學會看上去很美。」
「人生是一種經歷，痛苦不僅是掙扎和鬥爭，也是一種體驗。成功與否在很多時候就在於有無堅強的信念，是否會有勇氣去付諸行動。」
「純粹的數學是美麗的。」 
~納許(John Nash)


「把不同的事情看成同一件， 這門藝術叫數學。」
「把同一件事情說得不一樣，這門藝術叫文學。」
「邏輯用於證明，直覺用於發明，沒有直覺，就像按語法寫詩，語法都對，卻沒有思想。」
「沒有已經解決或尚未解決的問題，只有或多或少解決了的問題。」
「懷疑一切及相信一切都是容易的解決方式，但兩者都撇除了必要的反思。」
~龐嘉萊(Henri Poincaré)


「對職業的純數學家們來說，數學應該是一組精要中肯的假設，和另一組出人意表的結論，經由風格優雅的證明所兜成的邏輯式吻合。」
~哈模斯(Paul Richard Halmos)


「如果歐幾里得無法點燃你年輕的熱情，那麼你生來就不是一位科學思想家。」

「數學之所以比一切其他科學受到尊重，一個理由是因為數學的命題是絕對可靠和無可爭辯的，而其他的科學卻經常陷於被新發現的事實所推翻的危機之中。…數學之所以有高聲譽，另一個理由就是數學將自然科學實現定理化，付予自然科學某種程度的可靠性。」
「不要擔心你在數學上遇到的困難；我敢保證我遇到的困難比你還大得多。 」
「提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已。而提出新的問題、新的可能性、從新的角度去看舊的問題，卻需有創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。」
(Do not worry about your difficulties in Mathematics. I can assure you mine are still greater. )

~愛因斯坦(Albert Einstein)

「凡存在皆合理。」
「音樂是一種隱藏的算術練習，透過潛意識的心靈和數字交流。」
~萊布尼茲(Leibniz)

 
「我對數學的興趣，源於人類智慧足以參悟自然的欣喜。」
「理論的重要性必與其能解決問題的重要性成正比。一個數學難題的重要性在於由它引出的理論是否豐富。」
~丘成桐 

「任何人對我的解題方法感興趣，都可以在那裡找到，讓他們去讀吧」 
「我把所有的計算方法都發表出來了。這就是我能提供給公眾的東西」   
~佩雷爾曼 

「如果你解不出某道題，那肯定是有一個更容易的問題你尚未解決 --- 找到它！」
「在寒冷的冬夜裡，當貓準備睡覺時，牠收捲起小腳，儘可能讓身體捲成球團一般。貓已經證明了這個定理：在給定一體積下，所有立體中，球面具有最小的表面容積。」
~G.波里亞(George Polya)

「正如人類的每項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。正是透過這些問題的解決，研究者鍛鍊他的堅毅意志和力量，發現新方法和觀點，達到更寬廣的自由世界。」
「數學是根據簡明規則把玩純粹符號的紙上遊戲。」

 「沒有任何問題可以像無窮那樣深深的觸動人的情感，很少有別的觀念能像無窮那樣激勵理智產生富有成果的思想，然而也沒有任何其他的概念能像無窮那樣需要加以闡明。」
「我們必須知道，我們將會知道。」

 「只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預示著獨立發展的終止或衰亡。」
~希爾伯特(David Hilbert)  

「這就像是在問：為什麼貝多芬第九號交響樂曲很美。如果你看不出原因，就沒有人能告訴你。我知道數字很美。如果數字不美，就沒有美的東西。」
「數學是人類唯一永無止境的活動。我們可以想見， 人類最後會完全理解物理學和生物學。但是，人類永遠沒有辦法完全理解數學，因為這門科目無窮無盡。數字本身就是無窮無盡。」
~艾狄胥