縱橫刪 n 階數字方盤

上列4×4的方盤,1~16連續16個正整數由左而右,由上而下,依序填入方格中。遊戲開始,先在方盤中任選一格,這方格內的數被保留下,但是跟它同列或同行的方格內的數被全部歸零。繼續遊戲,在方盤中任選非零的方格,直到4格非零,其餘12格都歸零,遊戲結束。
無論你玩幾次上列遊戲,結束所留下的 4個數,相加的總和都是 34。這是為什麼呢 ﹖
遊戲結束,留下的4個數分別位在不同列,也不在同行。
由左圖可知方盤中,1 =
0+1,2 = 0+2,.....,10 = 8+2,11 = 8+3,......,15 = 12+3,16 = 12+4。假設留下的4個數分別在第一列第 a 行,第二列第 b 行,第三列第 c 行,第四列第 d 行。其中,a、b、c、d彼此都不一樣大小,而且a+b+c+d=1+2+3+4=10。
因為第一列第 a 行的數等於
0+a,第二列第 b 行的數等於 4+b,第三列第 c 行的數等於 8+c,第四列第 d 行的數等於 12+d,將這4個數相加,( 0+a )+( 4+b )+( 8+c )+( 12+d )= 24+10= 34。這個 4×4方盤的對角線和也是34。
這個遊戲可以推展到 n
× n的 n階方盤 ( n≧1 ),方盤中第一列 n個數由左而右依序是1~n,第二列 n個數由左而右依序是(n+1)~2n,其餘各列都依此規則。
遊戲結束所留下的 n個數,依照上述計算的方法可以求其和等於 (
0+n+2n+3n+4n+....+(n-1)n )+( 1+2+3+4+....+n )=

n= 3時,和=15;n=4 時,和=34;n= 5 時,和=65;n= 6 時,和=111;n= 7 時,和=175;...................
以7
×7的 7階方盤為例:遊戲結束所留下的7個數的和= = 175。(下圖例)

 

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