比較1000010001和1000110000

利用二項式定理可知

1110=(10+1)10=1010+10×109+45×108+120×107+210×106+225×105+210×104+45×103+10×102+1

1011=10×1010=(1010+1010+1010+1010+1010+1010+1010+1010+1010+1010),逐項比較可知1011>1110

也可以利用對數來比較1011和1110

因為log1110=10×log11≒10×1.0414=10.414

1110≒1010.414,1011>1010.414

所以1011>1110

至於利用二項式定理,比較1000010001和1000110000,顯然不是好方法。

考慮$\dfrac{10000^{10001}}{10001^{10000}}$

因為$\dfrac{10000^{10001}}{10001^{10000}}$

=10000×$(\dfrac{10000}{10001})^{10000}$=10000×$(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{10000}})^{10000}$

已知e=$\lim_{n \to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ ≒ 2.71828,所以

$\dfrac{10000^{10001}}{10001^{10000}}$ ≒ 10000×$\dfrac{1}{e}$ ≒ 3678.80,可知

1000010001大於1000110000

 

相關連結︰從複利本利和認識e  


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