比較10000^10001和10001^10000

比較10000¹⁰⁰⁰¹和10001¹⁰⁰⁰⁰

利用二項式定理可知

11¹⁰=(10+1)¹⁰=10¹⁰+10×10⁹+45×10⁸+120×10⁷+210×10⁶+225×10⁵+210×10⁴+45×10³+10×10²+1

而10¹¹=10×10¹⁰=(10¹⁰+10¹⁰+10¹⁰+10¹⁰+10¹⁰+10¹⁰+10¹⁰+10¹⁰+10¹⁰+10¹⁰)，逐項比較可知10¹¹>11¹⁰。

也可以利用對數來比較10¹¹和11¹⁰

因為log11¹⁰=10×log11≒10×1.0414=10.414，

11¹⁰≒10^10.414，10¹¹>10^10.414，

所以10¹¹>11¹⁰。

至於利用二項式定理，比較10000¹⁰⁰⁰¹和10001¹⁰⁰⁰⁰，顯然不是好方法。

考慮$\dfrac{10000^{10001}}{10001^{10000}}$，

因為$\dfrac{10000^{10001}}{10001^{10000}}$

=10000×$(\dfrac{10000}{10001})^{10000}$=10000×$(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{10000}})^{10000}$，

已知e=$\lim_{n \to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ ≒ 2.71828，所以

$\dfrac{10000^{10001}}{10001^{10000}}$ ≒ 10000×$\dfrac{1}{e}$ ≒ 3678.80，可知

10000¹⁰⁰⁰¹大於10001¹⁰⁰⁰⁰。