為什麼只有5個正多面體

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為什麼只有5個正凸多面體

由多面體尤拉公式得知，如果正多面體有v個頂點，e個邊，f個面，則 v+f-e=2。...(1)
假設正多面體的m個邊共用一個頂點，而且每一面都是相同的正n邊形，也就是說m個全等的正n邊形的面共用一個頂點。因為m個邊共用一個頂點，所以m個面共用一個頂點。

因為多面體有v個頂點和e個邊，每一個頂點有m個邊，而且相鄰的兩個頂點共用一個邊，所以 $\frac{m\times v}{2}$ =e。...(2)

因為多面體有f個面和e個邊，每一個面有n個邊，而且相鄰的兩個面共用一個邊，所以 $\frac{n\times f}{2}$ =e。...(3)

由(2)(3)知v= $\frac{n}{m}$ f，e= $\frac{n}{2}$ f，代入(1)並化簡，得f= $\large\frac{4m}{2n-mn+2m}$ 。...(4)

因為正n邊形的每一個內角都是 $\frac{180(n-2)}{n}$ 度，而且共頂點的m個角的度數總和應該小於360度，否則無法成凸多面體所以 $\frac{180(n-2)}{n}$ <360，化簡得
m(n-2)<2n，m(n-2)-2(n-2)<4，因此(m-2)(n-2)< 4。...(5)

由(4)(5)推論正凸多面體有多少個：

因為m≧3(m-2)(n-2)< 4f= $\large\frac{4m}{2n-mn+2m}$ ，得

m	n	f
3	3	4
3	4	6
3	5	12
4	3	8
5	3	20

所以每一面都是全等正三角形的正多面體包括正4面體、正8面體、正20面體;每一面都是全等正方形的正多面體是正6面體(正方體);每一面都是全等正5邊形的正多面體是正12面體。因此正凸多面體只有5個。

相關連結：正4面體、正6面體、正8面體、正12面體、正20面體