為什麼只有5個正多面體

為什麼只有5個正凸多面體

由多面體尤拉公式得知，如果正多面體有v個頂點，e個邊，f個面，則 v+f-e=2。...(1)
假設正多面體的m個邊共用一個頂點，而且每一面都是相同的正n邊形，也就是說m個全等的正n邊形的面共用一個頂點。因為m個邊共用一個頂點，所以m個面共用一個頂點。

因為多面體有v個頂點和e個邊，每一個頂點有m個邊，而且相鄰的兩個頂點共用一個邊，所以$\frac{m\times v}{2}$=e。...(2)

因為多面體有f個面和e個邊，每一個面有n個邊，而且相鄰的兩個面共用一個邊，所以$\frac{n\times f}{2}$=e。...(3)

由(2)(3)知v=$\frac{n}{m}$×f，e=$\frac{n}{2}$×f，代入(1)並化簡，得f=$\large\frac{4m}{2n-mn+2m}$。...(4)

因為正n邊形的每一個內角都是$\frac{180(n-2)}{n}$度，而且共頂點的m個角的度數總和應該小於360度，否則無法成凸多面體，所以$\frac{180(n-2)}{n}$<360，化簡得
m(n-2)<2n，m(n-2)-2(n-2)<4，因此(m-2)(n-2)< 4。...(5)

由(4)(5)推論正凸多面體有多少個：

因為m≧3，而且(m-2)(n-2)< 4，f=$\large\frac{4m}{2n-mn+2m}$，得

所以每一面都是全等正三角形的正多面體包括正4面體、正8面體、正20面體;每一面都是全等正方形的正多面體是正6面體(正方體);每一面都是全等正5邊形的正多面體是正12面體。因此正凸多面體只有5個。