p.1

 

西洋棋手臣服Chinook(契努克人工智慧程式)
2007年12月20日,美國《科學》雜誌公佈了2007年度科學研究十大突破,其中之ㄧ是"發現挑戰人類智力的電腦程式"。從1989年開始,加拿大艾爾伯特大學(University of Alberta)的計算機科學家Jonathan Schaeffer和同事就致力於開發西洋跳棋人工智慧程式(Chinook)。得到一些頂尖西洋棋手的協助,Schaeffer利用啟發法(heuristics)將棋手的經驗編成計算機程式,透過約50部高效能電腦運算,研究涵蓋了約5×1020個跳棋位置,研究人員同時不斷對程式進行監控、修正和更新,從而使"契克努"能夠在特定棋局洞察每一步棋成功和失敗的先機,Jonathan Schaeffer和研究人員終於2007年4月完成了"切努克終極程式",從此人類再也贏不了人工智慧西洋棋。   
參考資料:
http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/1144079
http://www.cs.ualberta.ca/~chinook/


 

 北京2008奧林匹亞運動會的游泳比賽中心---水立方,它和鳥巢體育場堪稱北京奧林匹亞 運動公園裡最醒目的兩座建築體。水立方的屋頂與牆面由多面體單元構成,每一單元包含六個十四面體和兩個十二面體。而這些多面體由正六邊形和邊長、角度不等的五邊形組成。 這種結構是都柏林三一學院的物理學家維埃爾(Denis Weaire)和費蘭(Robert Phelan)在1993年發現的。他們發現利用這樣繁複的方式所堆積成的多面體單元可以架構出表面積總和略少於在1887年由卡爾文爵士(Lord Kelvin)的所提出的十四面體。
 


高斯完成尺規作圖正十七邊形,並引以為傲。可是正七邊形卻不能利用無刻度的尺規來作圖,正七邊形的兩條不等長對角線長和一邊長具有性質:1/a=1/b+1/c,這性質可以利用托勒密定理證明它。英國錢幣50便士採正七邊形設計,不同於常見的圓形,提高了防偽作用。而且該錢幣的曲線七邊形是等寬曲線,並不會造成使用投幣機的困擾。

參考資料:
星空燦爛的數學(Ⅱ)--托勒密定理(蔡聰明教授)
正多邊形的世界(全任重教授)
等寬曲線
尺規正十七邊形
 


 

1935年涂林(Alan Mathison Turing)在英國劍橋大拓樸學家紐曼(M. H. A. Newman)的講堂裡知道『哥德爾不完備定理(Godel's incompleteness theorem)』。該定理說::在一個夠複雜的數學邏輯系統裡面,一定可以找到無限多個在這個邏輯系統裡面是完全合理存在的,可是在這個邏輯系統所容許的規則,卻無法證明它是否是正確的。「簡單來說,就是任何無矛盾的邏輯系統,從本質上沒有能力捕捉人類所能理解的全部數學真理。」這個定理震撼了當時的數學界、哲學界、科學界。
但是
希爾伯特(D. Hilbert)所提出的另一個相關問題「判定性(decidability)問題」,在當時卻仍然沒有解決。所謂「判定性(decidability)問題」是說:在初階邏輯系統裡,是否具備明確的方法,能在原則上就判定任何給定命題的真假,並獲得證明。
涂林在這個問題的思考上並沒有採用一般邏輯學家常用的推理系統規範方法,卻採用了一種截然不同的途徑,最終竟以否定的答案解決了「判定性問題」。涂林把他得到的結果寫成〈論可計算數及其在判定性問題上之應用〉(On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem)一文,在1936年五月送交《符號邏輯學報》,並於十一月號學報正式被刊登發表。他在這篇論文中至少有三項影響深遠的創見:(一)發明與定義一種抽象的計算機;(二)證明萬用計算機的存在性;(三)證明存在有任何計算機都不能解決的問題。這篇文章是現代計算機理論和人工智慧的濫觴,涂林被後人尊稱「計算機之父」。
參考資料:
謎樣的計算機科學之父/李國偉教授撰寫
http://
episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_30_11_2/index.htm

 


       由英國曼徹斯特大學的喬治.格威吉斯.約瑟博士(Dr. George Gheverghese Joseph)(右圖)所率領的曼徹斯特和埃克塞特大學的研究小組對於年代久遠且使用現代人少有人知的中世紀(14~16世紀)的喀拉拉語、馬拉雅拉姆語等印度古語所撰寫的印度論文深入研究後發現,印度西南部一所小有名氣的喀拉拉學校的學者--馬德哈瓦和尼拉坎薩,很可能是現代數學理論的創始人,他們在1350年就發現了微積分學的重要組成部分之一---無窮級數。
       已知最早的有關微積分的印度數學著作《Yuktibhasa》,就是用馬拉雅拉姆語撰寫而成的。喀拉拉學校學者已經可以使用圓周率無窮級數計算圓周率的近似值精確到小數點後第9位和第10位,甚至後來又精確到第17位。
約瑟博士研究後認為15世紀印度人曾經將他們的發現告知造訪印度的耶穌會傳教士,他們精通數學也懂得馬拉雅拉姆語,而傳教士將『無窮級數』傳回歐洲,牛頓也獲得這個知識。當然17世紀末牛頓和萊布尼茲在微積分學的貢獻卓著,其歷史地位無可動搖,可是也應該給於喀拉拉學校的學者--馬德哈瓦和尼拉坎薩一個相當的定位以彰顯其貢獻。
       這一新發現被記錄在約瑟博士的最近出版的《孔雀王冠:數學起源並非歐洲》第三版中。


參考網頁www.sciencedaily.com/releases/2007/08/070813091457.htm
 


      今年(2007)是瑞士數學家歐拉(Euler)誕辰300周年,許多國家都舉辦紀念活動,瑞士政府也發行一套郵票紀念(如圖)。
數學領域處處可見歐拉(Euler)的名字─初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數論的歐拉函數、變分法的歐拉方程、複變函數的歐拉公式...。
歐拉是數學史上最多產的全才型數學家,Euler 與牛頓,萊布尼茲(Leibniz) 都是屬於新數學理論的開拓者
。後人將歐拉(Euler)、高斯(Gauss)、 黎曼(Riemann) 在數學的地位比喻為樂壇上的三 B:巴哈、貝多芬、布拉姆斯。雖然Euler在28歲時右眼失明,59歲時已經雙目失明,但是他一生勤奮寫下了886篇論文和多本書籍,平均每年寫出800多頁,這包括他在雙目失明後仍出版的書籍與口述發表的400多篇論文。後來俄羅斯的彼得堡科學院為了整理他的著作,足足忙碌了47年。

 


       1858年德國數學家、天文學家August Ferdinand MobiusJohhan Benedict Listing兩人發現莫比烏斯帶(Mobius strip),它是一種拓撲學結構,只有一個面,和一個邊界。可以用一個紙帶旋轉180度,再把兩端粘上就可以輕易製作出來。雖然其形狀已經數學家詳細闡述說明,卻一直沒有一個數學方程式能夠解開形狀是如何產生的以及其表面到底在那裡彎曲和如何彎曲的。因為紙條透過彎曲與扭轉所產生的壓力增加了紙條中儲存的能量,而"莫比烏斯帶如何將自身的能量最小化",從1930年起就一直困擾著全球的力學科學家。
      歷經近77年的努力,2007年7月15日,來自英國倫敦大學學院的非線性動力學家
Gert van der HeijdenEugene Starostin在 Nature Materials 發表一篇相關研究論文揭開了莫比烏斯帶的立體結構之謎。 歐拉─拉格朗日方程式在1989年就被提出,它也解決了某些微分方程集,卻從未被用來解決莫比烏斯帶的難題。但是Gert van der HeijdenEugene Starostin卻利用歐拉─拉格朗日方程式發展出一個數學方程式,可以準確預測不同長寬比例莫比烏斯帶的三維形狀,甚至到臨界極限,此時,莫比烏斯帶逐漸變平,最終成為一個等邊三角形。而莫比烏斯帶上各個位置的能量密度也因長寬比例相應改變,捲曲最劇烈的地方具有最高的能量密度,而平坦的地方能量密度最低。
      新的研究成果對材料學、藥物開發等許多領域也具有重要意義。
Eugene Starostin表示,它將有助於科學家理解一些生物分子和化學薄膜的架構。瑞士聯邦技術研究所的數學家John Maddocks認為研究中使用的
方程式可適用於任何扭曲的長方形條帶,包括碳納米管。


 

         今年((2007)第一次國中基測數學第30題和大學指考數學乙第4題不約而同都以選用正多邊形緊密鋪滿地面」命題,如果只用全等的正多形就只有正三角形、正方形和正六邊形三種選擇。
除此之外,全等的非線性圖形也可以緊密撲滿平面,其中以
荷蘭版畫家埃舍爾M. C. Escher,,1898-1972)的畫作最著名。他擅長利用空間錯覺、幾何拼接、悖論架構,他總是由"不可能"的角度描繪我們所在的客觀世界,卻讓我們的主觀視覺享受不可思議的激盪。上圖是埃舍爾利用大小形狀一樣的獨角獸(三種顏色
)圖案鋪滿整個畫面。

相關網頁
http://www.mcescher.com


 

      玩具不倒翁穩定平衡時,重心和接地點的距離是最小,因此總要將底部加重。兩位數學家Gábor Domokos(匈牙利/布達佩斯技術學院)和 Péter Várkonyi (美國/普林斯頓大學)創造出的類似不倒翁形體,它如同不倒翁一樣總是可以回到原始的狀態,但是它並沒有被加重底部,而且內部是均勻的。他們稱這形體為『Gomboc』,該形體的表面是光滑的和曲線形的,可是他們仍不確定『Gomboc』是否可以是多面體。

延伸閱讀︰http://www.gomboc.eu/100.pdf


 

        電線在兩電線桿之間懸垂成一曲線,我們稱這樣的曲線為「懸垂線」。
法國加拉比(Garabit)高架橋的拱軸線就是倒置的懸垂線(圖一)。美國聖路易(St.Louis)拱門也是懸垂線(圖二)。
y=(e
x+e-x)/2的函數圖形就是懸垂線,乍看之下很像是拋物線,難怪連伽利略都看錯了。巴西的Hercilio Luz橋(圖三)的懸吊鍊就是拋物線。

延伸閱讀︰

有點像,其實不同--懸垂線和拋物線



 

圖一
圖二
圖三

 

     自然界存在許多螺旋形構造,如颱風的漩渦(圖一),鸚鵡螺的內室構造(圖二)。古希臘數學家阿基米德(約西元前280年)就對螺旋線進行了研究,並運用來製作機械(昇水泵)。數學家笛卡兒於1683年首先描述了對數螺旋線,並且列出了螺旋線的解析式。

      

(圖一)

(圖二)

  名列世界七大奇觀之一的義大利披薩斜塔內的通道樓梯,便是294階的螺旋線。著名的梵蒂岡博物館的雕花出口階梯在1932年由Giuseppe Momo 設計建造,它也是螺旋線(如左圖)。

   紐約古根漢美術館就是一座倒置的圓錐螺旋形建築,館內圓形空間的底部直徑約28公尺,向上逐漸加大,高約30公尺。美術作品就展示在盤旋而上的螺旋坡道(如右圖)。

 


 

          Thomas Heatherwick 被英國《泰晤士報》譽為英國最具創造力的藝術家。他在倫敦的Paddington Basin建造的開放式渡橋,伸展開時只像一般橋樑,可是捲曲後常令觀 眾驚嘆不已! 這座長約40呎的大橋就像毛毛蟲一樣向上捲曲,直至在對岸幻化成為一座正八角柱體為止, Thomas Heatherwick 自許「我希望造一座有戲劇性的橋!」,顯然他是成功了。

1

2

3

4


 

    瑞士在1957年發行尤拉(Euler)250周年誕辰紀念郵票,郵票上印上Euler在1748年所發表的公式,e=CosΦ+iSinΦ。這個公式是三角函數和複數理論中最重要的公式,當Φ=π時,
e + 1= 0。Euler 非常熱愛這個公式, 宣稱這是最美麗的數學公式,並將這公式刻在皇家科學院的大門上。這公式包括有1和 0 ,分別是乘法和加法這兩個基本運算系統的單位元素,還有三個運算方法--加法、乘法和次方。另有兩個特別的數︰指數e 與圓周率π ,再加上虛數單位 i 。

 


    Keizo Ushio是享譽國際的日本石頭雕刻家,擅長將石頭雕刻成拓樸形狀,譬如莫比帶或是環面。2006年國際數學家大會(ICM)西班牙馬德里召開並頒發菲爾茲獎Keizo Ushio獲邀雕刻拓樸形狀,他在一週的大會期間完成切割環面花崗岩後公開展示。






 

   賈恩茨考斯韋海岸(Giant's Causeway,巨人之路)位於北愛爾蘭貝爾法斯特西北約80公里處大西洋海岸。由總計約4萬根六角形石柱組成8公里的海岸。石柱連綿有序,呈階梯狀延伸入海。大約是6000萬年前太古時代火山噴發後熔岩冷卻凝固而形成的。賈恩茨考斯韋海岸1986年被列為世界自然遺產
自然界之中雪花、蜂窩等的形狀都是六邊形,自有其經濟原則。

延伸閱讀: 
數學家稱蜂窩是世界上最省料的建築物
 


「為了2006世界盃足球造勢與宣傳,德國政府計畫48個藝術、文化企劃與工程,圖中的足球裝置藝術為其中一項工程,豎立於巴黎Trocadero廣場。」(美聯社)
一般足球表面是由12個正五邊形和20個正六邊形組成。

延伸閱讀: 
足球的白與黑 





 


    畢達哥拉斯(Pythagoras)(約-569∼?),生於 愛琴海 Samos 島,卒於義大利。畢氏學派的創始人,畢氏而言,數學之美在於有理數能解釋一切自然現象,「萬物皆數」的信念,為希臘數學的昌盛奠下基礎。畢氏認為尋找證明就是尋找認識,而這種認識比任何訓練所累積的經驗都不容置疑,數學邏輯是真理的仲裁者 。(左圖-Pythagoras紀念碑,豎立在故鄉 Pythagorio, Samos)
 


延伸閱讀:
畢達哥拉斯 (翁秉仁教授/台大數學系)
畢達哥拉斯
http://de.wikipedia.org/wiki/Samos
  

 

Copyright ©昌爸工作坊 all rights reserved.