對稱時刻

定義：在圓形鐘錶上，如果時刻A和時刻B的算術平均數是6點，則彼此互稱為對稱時刻。

圓形鐘錶，僅考慮12小時制，鐘面上以6點為對稱軸，某時刻的對稱時刻是幾點幾分？


5點5分對稱於6點的時刻是6點55分	9點20分對稱於6點的時刻是2點40分

如果 y>0，則 x點y分對稱於6點的時刻是 (11-x)點(60-y)分。

如果 y=0，則 x點對稱於6點的時刻是 (12-x)點。

試問「在24小時制，在0點0分時針和分針重合，兩針夾角0°。那麼在一天裡時針和分針總共重合幾次？」

已知時刻對稱於6點，所以先思考時針和分針在0:00~6:00的重合次數。

因為鐘錶兩針指向x點y分，則時針和分針夾角 |$30x-\large\frac{11y}{2}$| (度) 或 360-|$30x-\large\frac{11y}{2}$| (度)。

如果x=0且兩針夾角0°，則 |$30\times 0-\large\frac{11y}{2}$|=0，得 y=0，在0:00兩針重合。對稱時刻是12:00。

如果x=1且兩針夾角0°，則 |$30\times 1-\large\frac{11y}{2}$|=0，得 y=$5\frac{5}{11}$，在1點$5\frac{5}{11}$分，兩針重合。對稱時刻是10點$54\frac{6}{11}$分。

如果x=2且兩針夾角0°，則 |$30\times 2-\large\frac{11y}{2}$|=0，得 y=$10\frac{10}{11}$，在2點$10\frac{10}{11}$分，兩針重合。對稱時刻是9點$49\frac{1}{11}$分。

如果x=3且兩針夾角0°，則 |$30\times 3-\large\frac{11y}{2}$|=0，得 y=$16\frac{4}{11}$，在3點$16\frac{4}{11}$分，兩針重合。對稱時刻是8點$44\frac{7}{11}$分。

如果x=4且兩針夾角0°，則 |$30\times 4-\large\frac{11y}{2}$|=0，得 y=$21\frac{9}{11}$，在4點$21\frac{9}{11}$分，兩針重合。對稱時刻是7點$38\frac{2}{11}$分。

如果x=5且兩針夾角0°，則 |$30\times 5-\large\frac{11y}{2}$|=0，得 y=$27\frac{3}{11}$，在5點$27\frac{3}{11}$分，兩針重合。對稱時刻是6點$32\frac{8}{11}$分。[註1]

由上述可知，在0:00~11:59時段裡兩針重合11次。因此12:00~23:59時段裡兩針重合11次。

所以在一天裡時針和分針總共重合22次。

[註1]：如果x=6且兩針夾角0°，則 |$30\times 6-\large\frac{11y}{2}$|=0，得 y=$32\frac{8}{11}$，在6點$32\frac{8}{11}$分，兩針重合。對稱時刻是5點$27\frac{3}{11}$分。