電扶梯

波蘭數學家Slapenarski教授曾提出一道電扶梯階梯數目的數學題︰
「如果甲在一部等速往下的電扶梯往下走，走50階才到樓下。反過頭，甲搭同一部電扶梯，以5倍於之前往下走的速率往上走，走了125階到達樓上。你可以算出電扶梯原有多少階嗎 ?」

假設電扶梯原有x階，踏面寬y公分。由題意知「走了50階就到樓下」，如果甲走50階的時間是t分鐘，則電扶梯在同時往下走(x-50)階，所以電扶梯的速率是$\large\frac{x-50}{t}$y (公分/分)。...(1)

因為甲反過頭搭同一部電扶梯，以5倍於往下走的速率往上走，走125階到達樓上。已知甲往下走的速率是$\large\frac{50}{t}$y(公分/分)，所以甲往上走的速率就是$\large\frac{250}{t}$y(公分/分)，因此甲上樓花了125y÷$\large\frac{250}{t}$y=$\large\frac{t}{2}$(分鐘)。而在這段時間電扶梯往下走了幾階呢?
電扶梯階梯原有x階，甲往上走125階，同時間電扶梯往下走s階，即125-s=x，s=125-x。

得知電扶梯速率=$\large\frac{125-x}{\frac{t}{2}}$y=$\large\frac{250-2x}{t}$y (公分/分)。...(2)
因為(1)=(2)，所以x-50=250-2x，x=100，所以電扶梯原有100階。
　