倒來過去含量相同

原先甲杯子裝有100毫升的純酒精，乙杯子裝有100毫升的水。後將甲杯子的純酒精完全倒入乙杯內製成酒精溶液，酒精溶度是$\large\frac{100}{100+100}$%=50%...(一)。

如果從乙杯倒出半杯溶液回到甲杯，則甲杯有酒精溶液100毫升，酒精溶度是50%，所以含純酒精50毫升，水50毫升。而乙杯的酒精溶液還有100毫升，酒精溶度50%，包含酒精50毫升，水50毫升。...(二)

	甲杯			乙杯
	純酒精(ml)	水(ml)	酒精濃度	純酒精(ml)	水(ml)	酒精濃度
初始	100		100%		100	0%
(一)				100	100	50%
(二)	50	50	50%	50	50	50%

原先甲杯子裝有x毫升的純酒精，乙杯子裝有y毫升的水。如果從甲杯倒入乙杯 a 毫升的純酒精，沒有溢出狀況。乙杯有y+a毫升容液，酒精濃度$\large\frac{a}{y+a}$100%，包含y毫升的水和a毫升的酒精。...(一)

再從乙杯子倒入甲杯子a毫升溶液，也就是說甲杯子含酒精$(x-a)+a\times\large\frac{a}{y+a}$(ml)，水$a\times\large\frac{y}{y+a}$(ml)。乙杯子則有酒精 a-$\large\frac{a^2}{y+a}$=$\large\frac{ay}{y+a}$ (ml)，水有y-$\large\frac{ay}{y+a}$=$\large\frac{y^2}{y+a}$(ml) 。...(二)

	甲杯			乙杯
	純酒精(ml)	水(ml)	酒精濃度	純酒精(ml)	水(ml)	酒精濃度
初始	x		100%		y	0%
一	x-a			a	y	$\large\frac{a}{y+a}$×100%
二	(x-a)+$\large\frac{a^2}{y+a}$	$\large\frac{ay}{y+a}$		$\large\frac{ay}{y+a}$	$\large\frac{y^2}{y+a}$

由上述可知如果原先有甲杯子裝x毫升純酒精和乙杯子裝有y毫升的水，之後先從甲杯倒入乙杯 a 毫升的酒精，再由乙杯子倒入甲杯子a毫升酒精溶液，則最後甲杯溶液的含水量和乙杯溶液的酒精含量一樣都是$\large\frac{ay}{y+a}$。