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滾動架上木板的圓柱

109年會考(補考)數學科試題非選擇題第2題。
有個由實心圓柱和長方形木板組成的模型在水平地面上滾動,如圖 ( 一 ) 所示,在沿著圖中虛線做的垂直截面上,O 點為圓柱截面的圓心,M 點為木板AB 與圓 O 的固定點,也是 AB 的中點,而 N 點為圓 O 與地面的接觸點,如圖 ( 二 ) 所示,其中圓 O 半徑為 5,AB = 103



 

 


今在沒有滑動的情況下,將圓 O 向右滾動,直到 B 點接觸地面為止,如圖 ( 三) 所示,其中 P 點為圓 O與地面的接觸點, A′、 N′ 兩點分別為圓 O 滾動前 A、 N 兩點在地面上的位置。
在不計木板厚度的情況下,請根據上述資訊,回答下列問題︰
(1) 圖 ( 一 ) 中 ∠ MAO 的度數為多少?
(2) 判斷圖 ( 二 ) 中 N′PAM,哪個線段長度較長,並詳細解釋或完整寫出你的理由。

[解]

(1) 因為 OM = 5,AM = 53,且∠OMA=90°,所以∠MAO=30°

(2) 圖三,∠MOP=120°,且∠MON=120°,因此∠NOP=120°
     因為 N'P=NP,且NP=120360×2π×5 =23π×5。而 AM = 53,因為23π>2>3,所以N′P > AM

 


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