金字塔高度

古埃及最大的一座金字塔是第四王朝法老古夫王金字塔，塔原高146.59公尺，但是經過幾千年的風雨侵蝕，頂端風化吹蝕近１０公尺。在西元1888年巴黎埃菲爾鐵塔完成前，它一直是世界上最高的建築物。古夫王金字塔底面是正方形，每邊長約230公尺。
要如何測量金字塔的高度？
我們先聽一個關於希臘數學家和金字塔的故事︰
古希臘一位偉大的女數學家希帕蒂婭Hypatia(約西元370~415)，父親西翁(Theon)也是一位知名學者和數學教授。西翁非常關心女兒的教育，期望希帕蒂婭成為智慧超群的人。10歲的希帕蒂婭就擁有豐富的數學知識，能熟練運用數學理論解決實際生活問題。有一次，西翁刻意啓發女兒怎樣利用他們的影子來測量建築物的高度，並提議到金字塔所在地測量金字塔的高度。
當他們來到埃及，騎在駱駝向著金字塔前進，西翁見希帕蒂婭陷入長考，知道她遇到困難。西翁找話題轉移她的不安，一路談笑風生，講述沙漠風情、金字塔傳說，不知不覺來到目的地。
太陽將他們的身影拉得長長的，希帕蒂婭跟著父親一前一後向金字塔走去。希帕蒂婭回頭看見自己的身影和父親的影子重合，此時太陽與他們的頭頂恰好在一直線，她想到相似三角形來計算金字塔的高度，向父親提出這個想法，西翁高興的笑開口，希帕蒂婭知道就是這個方法了。

因為△ODB相似於△OCA (AA相似)，所以DB︰CA=OB︰OA。

因為△ODB相似於△OCA (AA相似)，所以DB︰CA=OB︰OA，得 DB=$\frac{\overline {CA} \times \overline{OB}}{\overline{QA}}$。可是這個方法要先計算OB。

如果不計算OB，是否有其他方法計算金字塔高度？
圖一和圖二是在兩個不同時間，金字塔影長和人身影長。已知在相同地點的相同時間的的太陽高度角相同。
在某時刻，金字塔影長BA，而身影長RQ，A點和Q點重合；而另一時刻，金字塔影長BO，而身影長RP，O點和P點重合。
因為△COA相似於△TPQ (AA相似)，所以AO︰QP=AC︰QT。
因為△ACB相似於△QTR (AA相似)，所以AC︰QT=CB︰TR。
因此CB︰TR=AO︰QP，得 CB=$\frac{\overline {TR} \times \overline{AO}}{\overline{QP}}$。

圖一

圖二