搬 n² 磚 塊

有n²塊石磚，由甲、乙兩人輪流每次搬走，每人每次搬走10塊，但是最後一輪，甲仍可搬走10塊，乙卻搬走不到10塊。若甲、乙希望最後各自搬走的磚塊總數是相同的，那麼甲應該讓給乙幾塊完整的石磚呢？    

我們由上表大膽猜想「如果有n²塊石磚，甲、乙兩人輪流各搬走10塊，而最後一輪，甲可搬走10個，乙只能搬走的石磚數一定是6」。
如果猜想是正確的，則甲需讓給乙2塊石磚，如此兩人各自搬走的磚塊總數才會是相同的。
(10+6)÷2=8，甲︰10-2=8且乙︰6+2=8。
假設第m輪後的磚塊總數10+a塊，其中 0<a<10。
因為兩人在前m輪總共搬走了20m塊石磚，所以原有磚塊數=20m+(10+a)=10(2m+1)+a，即n²=10(2m+1)+a....(1)。如果甲讓給乙石磚b塊(0<b<10)，則兩人搬走的磚塊總數相同。因此，10-b=a+b，即a=10-2b....(2)，所以a是偶數。
(2)代入(1)得 n²=10(2m+1)+(10-2b)=2[10(m+1)-b]，知n²是偶數，也就是說 n一定是偶數。
因為偶數的平方值的個位數字可能是0，4，6。已知0<a<10且由(1)可知a值可能是4或6。
如果a=4，則n²=10(2m+1)+4=2(10m+7)，因為n是偶數，令n=2K，因此n²=(2K)(2K)=2(2K²)，顯然n²=2(10m+7)不合理，所以a≠4。
如果a=6，則n²=10(2m+1)+6=4(5m+4)，(m，n)有正整數解，例如m=1，n=6。

所以「如果有n²塊石磚，甲、乙兩人輪流各自搬走10塊，最後一輪，甲仍可搬走10個，乙只能搬走的石磚數一定是 6。若甲讓給乙2塊石磚，則兩人搬走的磚塊總數就會相等。」

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