三刀割三角形的1/7

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三刀割三角形的 $\frac{1}{7}$

切三刀將三角形分成七小塊並不是難題，如附圖。但是要求切下原三角形面積的七分之ㄧ，就是一個挑戰了。

我們先認識「梅涅勞斯(Menelaus)定理，也稱作孟氏定理」: E點在AB， D點在BC，且AD和CE相交於F點，則
$\large\frac{\overline{ AE}}{\overline{ EB}}$ $\large\frac{\overline {BC}}{\overline {CD}}$ $\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ = 1。

證明:

因為 $\large\frac{\Delta AEC}{\Delta BEC}$ = $\large\frac{\overline{ AE}}{\overline{ EB}}$ ， $\large\frac{\Delta BCE}{\Delta CDE}$ = $\large\frac{\overline{ BC}}{\overline{ CD}}$ ，而且 $\large\frac{\overline{DF}}{\overline{FA}}$ = $\large\frac{\Delta DFE}{\Delta FAE}$ = $\large\frac{\Delta DFC}{\Delta FAC}$ = $\large\frac{\Delta DFE+\Delta DFC}{\Delta FAE+\Delta FAC}$ = $\large\frac{\Delta CDE}{\Delta AEC}$ ，因此 $\large\frac{\overline{ AE}}{\overline{ EB}}$ $\large\frac{\overline {BC}}{\overline {CD}}$ $\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ = $\large\frac{\Delta AEC}{\Delta BEC}$ $\large\frac{\Delta BCE}{\Delta CDE}$ $\large\frac{\Delta CDE}{\Delta AEC}$ = 1。

「將△ABC的三個邊三等分，並連接AD、BN、，則FGH面積ABC面積的 $\frac{1}{7}$ 。」

因為 $\large\frac{\overline{ AE}}{\overline{ EB}}$ $\large\frac{\overline {BC}}{\overline {CD}}$ $\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ = 1，所以 $\large\frac{1}{2}$ $\large\frac{3}{2}$ $\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ =1，因此 $\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ = $\large\frac{4}{3}$ 。

因為△ACF= $\large\frac{3}{7}$ △ACD= $\large\frac{3}{7}$ $\large\frac{2}{3}$ △ABC= $\large\frac{2}{7}$ △ABC。

同理可證，△ABG = △BCH = $\large\frac{2}{7}$ △ABC，所以△GFH = $\large\frac{1}{7}$ △ABC
　