三刀割三角形的1/7

三刀割三角形的$\frac{1}{7}$

切三刀將三角形分成七小塊並不是難題，如附圖。但是要求切下原三角形面積的七分之ㄧ，就是一個挑戰了。

我們先認識「梅涅勞斯(Menelaus)定理，也稱作孟氏定理」: E點在AB， D點在BC，且AD和CE相交於F點，則
$\large\frac{\overline{ AE}}{\overline{ EB}}$×$\large\frac{\overline {BC}}{\overline {CD}}$×$\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ = 1。

證明:

因為$\large\frac{\Delta AEC}{\Delta BEC}$ = $\large\frac{\overline{ AE}}{\overline{ EB}}$，$\large\frac{\Delta BCE}{\Delta CDE}$ = $\large\frac{\overline{ BC}}{\overline{ CD}}$，而且 $\large\frac{\overline{DF}}{\overline{FA}}$ = $\large\frac{\Delta DFE}{\Delta FAE}$ =$\large\frac{\Delta DFC}{\Delta FAC}$ =$\large\frac{\Delta DFE+\Delta DFC}{\Delta FAE+\Delta FAC}$ =$\large\frac{\Delta CDE}{\Delta AEC}$ ，因此$\large\frac{\overline{ AE}}{\overline{ EB}}$×$\large\frac{\overline {BC}}{\overline {CD}}$×$\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ =$\large\frac{\Delta AEC}{\Delta BEC}$ ×$\large\frac{\Delta BCE}{\Delta CDE}$×$\large\frac{\Delta CDE}{\Delta AEC}$ = 1。

「將△ABC的三個邊三等分，並連接AD、BN、CE，則△FGH面積 = △ABC面積的$\frac{1}{7}$。」

因為$\large\frac{\overline{ AE}}{\overline{ EB}}$×$\large\frac{\overline {BC}}{\overline {CD}}$×$\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ = 1，所以$\large\frac{1}{2}$×$\large\frac{3}{2}$×$\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ =1，因此$\large\frac{\overline {DF}}{\overline{ FA}}$ =$\large\frac{4}{3}$。

因為△ACF=$\large\frac{3}{7}$△ACD=$\large\frac{3}{7}$×$\large\frac{2}{3}$△ABC=$\large\frac{2}{7}$△ABC。

同理可證，△ABG = △BCH =$\large\frac{2}{7}$△ABC，所以△GFH = $\large\frac{1}{7}$△ABC
　