燈泡亮著
「有一排32個觸控燈泡，編號由1至32，初始都是關燈。第一次接觸會開燈，第二次接觸則會關燈，第三次又開燈，第四次關燈，依此類推。今有32個學生，座號由1號到32號，1號同學接觸的燈號是1的倍數，2號同學接觸的燈號是2的倍數，3號同學接觸的燈號是3的倍數，...，每一個學生接觸的燈號都是自己座號的倍數。等到32個學生輪流完成後，試想哪些燈號是亮著？」...(1)
燈泡開始是關燈，第一次接觸會開燈，第二次接觸則會關燈，第三次又開燈，第四次關燈，可見燈號被接觸過奇數次，這燈泡就是亮著。而學生所接觸的燈號是他座號的倍數，也就是說某燈號只被座號是燈號因數的學生接觸。因此，如果燈號的正因數個數是奇數，則最後它會是亮著。例如︰9號燈泡被1號、3號、9號學生接觸，而9的正因數有1、3、9共3個，最後9號燈泡亮著。
從一個自然數N的標準分解式$a_1^{p_1}a_2^{p_2}a_3^{p_3}$.....$a_n^{p_n}$，可知N的正因數有(p1+1)(p2+1)(p3+1)×....×(pn+1)個。
已知奇數×奇數=奇數，而奇數×偶數=偶數且偶數×偶數=偶數，如果N的標準分解式，只要有一個質因數的次數pi是奇數，則pi+1是偶數，因此其正因數個數必是偶數。
所以唯有N的標準分解式的所有質因數的次數是偶數，其正因數個數才會是奇數。如果N的標準分解式的所有質因數的次數是偶數，稱N是完全平方數或簡稱平方數。
問題(1)︰「......等到32個學生輪流完成後，試想哪些燈號是亮著？」
答案是1~32的平方數，有1、4、9、16、25，這5個燈號是亮的。
如果問題(1)的燈泡數量和學生人數都是ｎ