令人困惑的抽籤號碼

阿明抽到一張號碼牌,號碼是一組液晶電子數字61089,但是他卻對這組數字感到困惑,因為將號碼牌旋轉180度,會有另外一組數字68019,那麼他到底是抽到61089或者是68019呢?

             

如果分別將液晶電子數字0、1、5、8旋轉180度,還是0、1、5、8不變但是分別將液晶電子數字6和9旋轉180度就變成9和6,此外其他數字經過旋轉180度都再不是數字了。

已知每一張號碼牌的號碼都是用液晶電子數字組成的五位數,當你抽到的號碼牌也和阿明有一樣的困惑,那麼這樣的號碼牌有幾張 ?

顯然令人困惑的五位數是由0、1、5、689任選五個數字組成,且數字可以重複選取。
因為號碼是五位數,所以萬位數字不是0,萬位數字可能是1、5689
千位數、百位數、十位數可能是0、
15689
個位數字不是0,否則號碼牌旋轉180度會變成四位數,所以個位數字可能是1、
5689
因此,可能的五位數有5×6×6×6×5=5400 (個)。...(1)
然而當
中有一些五位數經過旋轉180度仍不變,這些是對稱型數字,例如︰51815、81518等,所以它們並不會造成困擾,那麼這些牌號碼有那些呢 ?因為五位數是對稱,所以萬位數字相同於個位數字,千位數字相同於十位數字。
因為數字旋轉180度不變,所以這些數字可能是0、158,因此萬位數字可能是158,而千位數字數字可能是0、158,百位數字數字可能是0、158,這些五位數總共有3×4×4=48(個)。...(2)

列舉如下︰

百位數字 0 1 5 8
對稱數五位數 10001
11011
15051
18081
50005
51015
55055
58085
80008
85058
88088
81018
10101
11111
15151
18181
50105
51115
55155
58185
80108
81118
85158
88188
10501
11511
15551
18581
50505
51515
55555
58585
80508
81518
85558
88588
10801
11811
15851
18881
50805
51815
55855
58885
80808
81818
85858
88888

 

由(1)(2)可知這些令人困惑的號碼牌有 5400-48=5352 (張)


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