重量百分濃度與調和平均數

x和y的調和平均數是$\large\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$，即x和y的倒數的算術平均數的倒數。

一杯食鹽水溶液因水分蒸發，溶液重量百分濃度由r₁×100％增為r₂×100％，如果再蒸發相同重量的水分，溶液重量百分濃度由r_２×100％增為r_３×100％，則$\large\frac{1}{r_1}$、$\large\frac{1}{r_2}$、$\large\frac{1}{r_3}$成等差數列，r₂是r₁和r₃的調和平均數。

假設重量百分濃度r₁×100％的食鹽水溶液含食鹽w公克，蒸發水分a公克後的食鹽水溶液的重量是b公克，則r₁=$\large\frac{w}{a+b}$，r₂=$\large\frac{w}{b}$。再蒸發水分a公克後的食鹽水溶液的重量濃度是r₃×100％，則r3=$\large\frac{w}{b-a}$。

因為$\large\frac{1}{r_1}$=$\large\frac{a+b}{w}$，$\large\frac{1}{r_2}$=$\large\frac{b}{w}$，$\large\frac{1}{r_3}$=$\large\frac{b-a}{w}$，所以$\large\frac{1}{r_1}$、$\large\frac{1}{r_2}$、$\large\frac{1}{r_3}$是公差$\large\frac{b}{w}$的等差數列，因此$\large\frac{2}{r_2}$=$\large\frac{1}{r_1}$+$\large\frac{1}{r_3}$，r2=$\large\frac{2r_1r_3}{r_1+r_3}$，r₂是r₁和r₃的調和平均數。