黃金比例紙扇

黃金比例紙摺扇

炎炎夏日，最環保的避暑方法，莫過於用扇子搧走暑氣了。
我們通常用黃金比例(0.618)來設計一把美麗的紙摺扇，則紙摺扇完全展開的角度是多少?

附圖，假設圓形半徑為r，作一扇形，扇形的圓心角是x度。如果扇形面積是A1，其他面積是A2。

如果$\frac{A1}{A2}$=0.618，則x即為黃金比例紙摺扇所期望展開的角度。

如果扇形的半徑為r，圓心角是x度，則面積是πr²($\large\frac{x}{360}$)。

$\frac{A1}{A2}$=$\large\frac{\pi r^2(\large\frac{x}{360})}{\pi r^2-\pi r^2(\large\frac{x}{360})}$=0.618，$\large\frac{\large\frac{x}{360}}{1-(\large\frac{x}{360})}$=0.618，$\large\frac{x}{360-x}$=0.618，則x≒140 度。

所以展開角140度的紙摺扇是合乎美學黃金比例設計的。

也可以如下那樣求展開角度︰
A1:A2=A2:(A1+A2)，x:360-x=360-x:360，因此(360-x)²=360x。
x²-1080x+540²=540²-360²x-540≒±402取 x=540-402=138≒140