趕鴨子過橋

養鴨人家趕著一群鴨子要過橋，經過第一座橋時有半數鴨子跌落橋下，其中2隻鴨子被救上來。經過第二座橋時又有半數鴨子跌落橋下，其中有2隻鴨子被救上來。經過第三座橋時又有半數鴨子跌落橋下，其中2隻鴨子被救上來，最後僅剩5隻鴨子。那麼原來養鴨人家趕了多少隻鴨子要過第一座橋?

經過第三座橋有半數鴨子跌落橋下，救起2隻鴨子，剩有5隻鴨子。也就是說，從橋上落水的半數鴨子有「5-2=3」隻，所以原有「3×2=6」隻鴨子要經過第三座橋。

經過第二座橋時有半數鴨子跌落橋下，救起2隻鴨子，剩有6隻鴨子。
也就是說，從橋上落水的半數鴨子有「6-2=4」隻，所以原有「4×2」=8隻鴨子要經過第二座橋。

經過第一座橋時有半數鴨子跌落橋下，救起2隻鴨子，剩有8隻鴨子。
也就是說，從橋上落水的半數鴨子有「8-2=6隻」隻，所以原有「6×2=12」隻鴨子經過第一座橋。

「養鴨人家趕著一群鴨子通過n座橋，每經過一座橋就有半數鴨子跌落橋下，而每一次都只有2隻鴨子被救起。直到最後僅剩5隻鴨子，那麼原先養鴨人家趕了多少隻鴨子經過第一座橋?」

參考上述討論可得數列 6，8，12，20，36，...，a_n，其中 a_n=2(a_n-1-2)。

a₁=2×(5-2)=2×3=6
a₂=2×(6-2)=2×4=8=2(3+1)=6+2
a₃=2×(8-2)=2×6=12=2(3+1+2)=6+2(1+2)
a₄=2×(12-2)=2×10=20=2(3+1+2+4)=6+2(1+2+4)
a₅=2×(20-2)=2×18=36=2(3+1+2+4+8)=6+2(1+2+4+8)
.....

$a_{n}=6+2(1+2+2^2+2^3+...+2^{n-2})=6+2\times\large\frac{2^{n-1}-1}{2-1}=4+2^n$

推廣 ：「養鴨人家趕著一群鴨子通過n座橋，每經過一座橋就有半數鴨子跌落橋下，而每一次都有x隻鴨子被救上橋。最後僅剩y隻鴨子，y>x，那麼原先養鴨人家趕了多少隻鴨出門?」