平分糖果

有一袋糖果,甲可以將所有糖果平分成二份且不剩,並取走一份。乙可以將剩下的糖果平分成二份且不剩,並取走一份。最後兩人還可以剛好平分剩餘的糖果。那麼原來那一袋糖果最少有幾個?

假設一袋原有x個糖果,甲平分成二份,每份a個糖果,則x=2a。甲取走一份,糖果剩下a個。
乙平分成二份剩下的糖果,每份b個糖果,則a=2b。乙取走一份,糖果剩下b個。
最後兩人還可以剛好平分剩餘的糖果,每份是c個,則b=2c。
因此,x=2a=2(2b)=2(2(2c))=8c,c=$\large\frac{x}{8}$。因為c是自然數,所以x的最小值是8。

如果原來題目由甲、乙兩人改成甲、乙、丙三個人,而且程序不變。則
甲平分糖果成3份
且不剩,每份a個糖果。甲取走a個,剩2a個糖果。
乙平分糖果成3份
且不剩,每份b個糖果,則3b=2a。取走b個糖果,剩2b個糖果。
丙平分糖果成3份
且不剩,每份c個糖果,則3c=2b。取走c個糖果,剩2c個糖果。
最後,3人平分各得d個糖果
且不剩,所以3d=2c。
因此,x=3a=3($\large\frac{3}{2}$)b=3($\large\frac{3}{2}$)($\large\frac{3}{2}$)c=3($\large\frac{3}{2}$)($\large\frac{3}{2}$)($\large\frac{3}{2}$)d=$\large\frac{3^4}{2^3}$d
因為d是自然數,所以當d=23
x的最小值是34

依此類推,如果有n個人,採相同的程序,則最後平分給n人每一人最少得(n-1)n糖果,原來一袋糖果最少有nn+1

 

自然數 n= ( n=2~16 )

 


假設數一顆糖果需要一秒鐘,而且有9個人執行相同程序,則第一個人計算數完一袋910個糖果,就需要$\large\frac{9^{10}}{365 ×24 ×60 ×60}$天 ,大約費時110年,顯然不會發生在生活中

假設原來有n個人,第一個人數完糖果至少費時t(時間單位)。

n 2 3 4 5 6 7 8 9
t 8秒 81秒 17分 4.34小時 3.24天 66.7天 4.26年 110.57年

因此,題目的人數若超過3個人就不確實際了。

 


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