腳踏車輪胎
腳踏車的後車輪負責驅動和承受較多的載重,所以後車輪胎比前車輪胎更容易耗損。為了提升輪胎的使用率,在腳踏車行駛一定路程後,將前後輪胎交換安裝,之後,如果腳踏車的兩個輪胎能在同一時間報廢,就算達成這一對輪胎的最佳使用率。
「腳踏車的前後輪都安裝同品牌的輪胎,安裝在前車的輪胎最高里程數是a公里,而安裝在後車的輪胎最高里程數只有b公里,a > b。試問安裝在腳踏車的同一對輪胎最多可行駛多少公里?」
若前後輪胎只要有一個先報廢,那麼這一部腳踏車就無法順利行駛了。
假設該品牌的輪胎當耗損量達 d 時,這一條輪胎就算是報廢不能用了,依題意
安裝在前方的輪胎每公里的耗損量是da,而安裝在後方的輪胎每公里的耗損量是db。
一開始A和B兩條輪胎分別安裝在前方和後方,先騎行 x 公里後,則A輪胎耗損 dax且B車輪耗損 dbx。
將前後方的A和B兩條輪胎交換,再繼續行駛 y 公里後,則A輪胎耗損 dby且B車輪耗損 day。
若腳踏車兩條輪胎同時報廢,則
A輪胎 dax+dby=d,1ax+1by=1 ...(1)
B輪胎 day+dbx=d,1ay+1bx=1 ...(2)
(1)+(2) 1a(x+y)+1b(x+y)=2
x+y=21a+1b=2aba+b
因此腳踏車上的同一對輪胎最多可行駛2aba+b公里。
2aba+b是a和b的調和平均數(Harmonic mean)。
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