腳踏車輪胎

腳踏車的後車輪負責驅動和承受較多的載重，所以後車輪胎比前車輪胎更容易耗損。為了提升輪胎的使用率，在腳踏車行駛一定路程後，將前後輪胎交換安裝，之後，如果腳踏車的兩個輪胎能在同一時間報廢，就算達成這一對輪胎的最佳使用率。

「腳踏車的前後輪都安裝同品牌的輪胎，安裝在前車的輪胎最高里程數是a公里，而安裝在後車的輪胎最高里程數只有b公里，a > b。試問安裝在腳踏車的同一對輪胎最多可行駛多少公里？」

若前後輪胎只要有一個先報廢，那麼這一部腳踏車就無法順利行駛了。

假設該品牌的輪胎當耗損量達 d 時，這一條輪胎就算是報廢不能用了，依題意

安裝在前方的輪胎每公里的耗損量是$\large\frac{d}{a}$，而安裝在後方的輪胎每公里的耗損量是$\large\frac{d}{b}$。

一開始A和B兩條輪胎分別安裝在前方和後方，先騎行 x 公里後，則A輪胎耗損 $\large\frac{d}{a}$x且B車輪耗損 $\large\frac{d}{b}$x。

將前後方的A和B兩條輪胎交換，再繼續行駛 y 公里後，則A輪胎耗損 $\large\frac{d}{b}$y且B車輪耗損 $\large\frac{d}{a}$y。

若腳踏車兩條輪胎同時報廢，則

A輪胎   $\large\frac{d}{a}$x+$\large\frac{d}{b}$y=d，$\large\frac{1}{a}$x+$\large\frac{1}{b}$y=1 ...(1)

B輪胎   $\large\frac{d}{a}$y+$\large\frac{d}{b}$x=d，$\large\frac{1}{a}$y+$\large\frac{1}{b}$x=1 ...(2)

(1)+(2) $\large\frac{1}{a}$(x+y)+$\large\frac{1}{b}$(x+y)=2

x+y=$\large\frac{2}{\Large\frac{1}{a}+\Large\frac{1}{b}}$=$\large\frac{2ab}{a+b}$

因此腳踏車上的同一對輪胎最多可行駛$\large\frac{2ab}{a+b}$公里。

$\large\frac{2ab}{a+b}$是a和b的調和平均數(Harmonic mean)。

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