不等臂天平的麻煩

阿丹的藥材行使用的天平跟別人不同,天平的兩臂長度不一樣。客人上門時,他提供二種不同的稱重計價方式,由顧客自己選擇。已知不等臂天平,左臂10公分長,右臂20公分長。

第一種計價方式︰
「將藥材分成等重的兩份,一份放入左盤,砝碼放入右盤
不等臂天平平衡;另一份放入右盤,砝碼放入左盤不等臂天平平衡。然後以兩次稱重的砝碼總重量計價」。

若藥材A放右盤,左盤放8(兩)的砝碼,不等臂天平會平衡,A應該重(8×10)÷20=4(兩)

若藥材B放左盤,右盤放2(兩)的砝碼,不等臂天平會平衡B應該重(2×20)÷10=4(兩)
以上二次秤法等重A和B的總重4+4=8(兩),但是使用的砝碼總重8+2=10(兩)。砝碼總重大於物品總重。

顧客得用10兩重的藥材費用購買8兩重的藥材,顧客被阿丹占便宜了。

       

 


第二種計價方式︰
「按照顧客欲買的藥材重量,砝碼放左盤
藥材放右盤砝碼重是欲購藥材重的一半砝碼改放右盤藥材放左盤砝碼重還是欲購藥材重的一半。然後以兩次稱重的砝碼總重量計價」。

若顧客買8兩藥材,8÷2=4(兩),阿丹將4兩重砝碼放左盤藥材放右盤藥材重(4×10)÷20=2(兩),不等臂天平才會平衡
阿丹將4兩重砝碼放右盤藥材放左盤藥材重(4×20)÷10=8(兩),不等臂天平才會平衡
以上二次秤法A和B的總重2+8=10(兩),但是使用的砝碼總重4+4=8(兩)
。砝碼總重小於物品總重。

顧客只用8兩重的藥材費就買到10兩重的藥材,顧客占便宜了。

 

      

 

 

如果鎮上所有人都知道這個秘密,而阿丹還不換掉不等臂天平,或者再想更好的計價方式,則他可要吃虧到關店了。

 

不等臂天平的左臂長a 公分右臂長b公分,假設 a < b
狀況一,顧客欲買 2x 兩藥材,由槓桿原理知右盤需要$\frac{bx}{a}$兩的砝碼,左盤x 兩藥材
才能使不等臂天平平衡;左盤需要$\frac{ax}{b}$兩的砝碼,右盤x 兩藥材才能使不等臂天平平衡。兩次秤法砝碼總重x($\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$)兩

因為ab,所以 (ab)2 = a22ab+b2 0,因此 a2+b2 2ab ,即$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$>2
所以狀況一的
砝碼總重x($\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$)兩大於2x兩重,這時若用砝碼總重計價,當然是對買方不利的。

而狀況二是先以x兩的砝碼分別放入左右盤去稱取藥材,這樣所稱得的藥材總重是x($\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$)兩。
因為x($\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$)>2
x,所以顧客以少買多,當然是對買方有利的。

 



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