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A系列紙張與白銀長方形

 

是否存在長方形紙張,沿著長邊對摺成長方形後,再沿著新長方形的長邊對摺成長方形,而且這些長方形都是相似形呢 ?」

 平時,我們使用印表機列印或掃描影印,所使用的A4紙就可以滿足上列條件

 

將一長方形的紙張沿著長邊對摺成原來的一半﹐如果對摺後的長方形和原來的長方形是相似的,則稱這種長方形為白銀長方形,A4紙就是白銀長方形。

白銀長方形的長 x,寬 y,則 x:y=y:x2,因此 x2=2y2,x:y=2:1,所以白銀長方形的長寬比是2:1。

 

ISO 216是國際標準化組織(ISO)所定義的紙張尺寸國際標準。A系列紙張的長寬比是2:1,定義A0長1189公厘,寬841公厘,面積大約0.999949平方公尺1平方公尺。
將A0紙沿著長邊對摺一半,可得A1紙;將A1紙沿著長邊對摺一半,就是A2紙;將A2紙沿著長邊對摺一半,就是A3紙;將A3紙沿著長邊對摺一半,就是A4紙。An紙沿著長邊對摺一半,就是A(n+1)紙,n=0~9。

如果從A系列任選不同大小的紙張,那麼他們都是相似形。

 

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

長(mm)

1189

841

594

420

297

210

148

105

74

52

37

寬(mm)

841

594

420

297

210

148

105

74

52

37

26

 

 

 

 

甲是長寬比2:1的白銀長方形,假設寬是x,長2x。

從甲裁掉一個最大的正方形,即裁掉邊長x的正方形,得長方形乙。

長方形乙長x,寬(21)x,長寬比值是1212+1

從乙裁掉一個最大的正方形,得長方形丙,其長與寬的比值是2221=2,所以甲和丙是相似形。

如果從丙裁掉一個最大的正方形,得長方形丁,其長與寬的比值是21322=2+1所以丁與乙相似形。

 


 

 

2+1≒2.414213562 被稱為白銀分割率,記做δS如果a與b兩個數的比值是δS則滿足2a+ba=ab

 

如果用繁分數表示δS,

 

定義佩爾(Pell)數,第1個佩爾數P1=0,第2個佩爾數P2=1,當n≧3,第n個佩爾數Pn=2Pn-1+Pn-2。佩爾(Pell)數形成佩爾(Pell)數數列,首項0,第一項是1,第三項開始每項都是前一項的兩倍加上前二項。佩爾數數列的前幾項是 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… 。從佩爾(Pell)數數列的第三項開始,任意一項與它相鄰前項的比值會趨近於2+1。

 

 


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