昌爸工作坊 / 判定19的倍數

判定19的倍數

20=19+1，
20²=(19+1)²=19²+2×19×1+1²=19(19+2)+1，
20³=(19+1)³=19³+3×19²×1+3×19×1²+1³=19(19²+3×19+3)+1，
20除以19餘1，20²除以19餘1，20³除以19餘1。

(下列計算器方便你迅速掌握(x+1)ⁿ展開式的各項係數)

運用二項式定理或帕斯卡三角形，可以知道 20ⁿ=(19+1)ⁿ=19A+1，所以20ⁿ除以19餘1。

試判斷六位數abcdef是否為19的倍數?
令六位數N=a×10⁵+b×10⁴+c×10³+d×10²+e×10+f，則
2⁵N=2⁵( a×10⁵+b×10⁴+c×10³+d×10²+e×10+f )=
a×20⁵+2×b×20⁴+2²×c×20³+2³×d×20²+2⁴×e×20+2⁵×f.......(1)
因為( a×20⁵+2×b×20⁴+2²×c×20³+2³×d×20²⁺2⁴×e×20¹+2⁵×f ) mod(19)≡ a+2b+2²c+2³d+2⁴e+2⁵f，
所以，如果a+2b+2²c+2³d+2⁴e+2⁵f可被19整除，則N就是19的倍數。

例如：判斷125153是否是19的倍數 ?
abcdef=125153，a=1，b=2，c=5，d=1，e=5，f=3，則
a+2b+2²c+2³d+2⁴e+2⁵f=1+2×2+4×5+8×1+16×5+32×3=209，因為209除以19得商11，餘0，所以125153是19的倍數。