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作者 標題: 發現新公式(有歐拉常數C)
小昭     發表於: 2024/10/8 上午 02:54:09            
新公式
1+1/2+...+1/n
=C+ln(n+0.5)+(1/24)(n+0.5)^(-2)
其中歐拉常數C=0.5772156649
小昭          回覆於: 2025/2/6 下午 12:32:22                        

再推
小昭          回覆於: 2024/10/8 上午 02:58:54                        

(i)當n=10至99時,誤差<10^(-6)
(ii)當n=100至10^6時,誤差<10^(-8)
請電腦高手驗算
Null          回覆於: 2024/10/10 下午 04:15:51                        

很棒
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 02:45:30                        

新公式的証明
設f(x)=ln(x)
則f’(x)=1/x
f’’(x)=-x^(-2)
f’’’(x)=2x^(-3)
f’’’’(x)=-3!x^(-4)
由於只求近似值,只用泰勒定理的首5項
f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+(1/2)f’’(a)(x-a)^2
+(1/3!)f’’’(a)(x-a)^3+(1/4!)f’’’’(a)(x-a)^4
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 02:56:54                        

當x=2n+1,a=2n時,則x-a=1
ln(2n+1)=ln(2n)+1/(2n)-(1/2)(2n)^(-2)
+(1/3)(2n)^(-3)-(1/4)(2n)^(-4)

1/(2n)=ln(2n+1)-ln(2n)+(1/8)n^(-2)
-(1/24)n^(-3)+(1/64)n^(-4)
當x=2n-1,a=2n時,則x-a=-1
ln(2n-1)=ln(2n)-1/(2n)-(1/2)(2n)^(-2)
-(1/3)(2n)^(-3)-(1/4)(2n)^(-4)

1/(2n)=ln(2n)-ln(2n-1)-(1/8)n^(-2)
-(1/24)n^(-3)-(1/64)n^(-4)
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 03:04:40                        

兩式相加,得
1/n=ln(2n+1)-ln(2n-1)-(1/12)n^(-3)
1/n=ln(n+0.5)-ln(n-0.5)-(1/12)n^(-3)
其中
ln(2n+1)-ln(2n-1)
=(ln(2n+1)-ln(2))-(ln(2n-1)-ln(2))
=ln(n+0.5)-ln(n-0.5)
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 03:15:59                        

由於數學家希望公式簡潔,方便記憶
泰勒定理的第6項當兩式相加後為-(1/80)n^(-5)
只對n<10時有明顯影響
當-(1/12)n^(-3)用黎曼積分的誤差
比-(1/80)n^(-5)大
所以不用第6項或之後
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 03:23:02                        

例子(1):
1/10用ln(10.5)-ln(9.5)-(1/12)*10^(-3)表示
1/10=0.1
ln(10.5)-ln(9.5)-(1/12)*10^(-3)
=0.1000001252
誤差=0.1000001252-0.1=1.252*10^(-7)
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 03:32:15                        

1/n的首6項直接加,不要用上式,以減少誤差
(因為沒有用泰勒定理的第6項)
即1+1/2+...+1/6=2.45
1/7用ln(7.5)-ln(6.5)-(1/12)*7^(-3)表示
1/8用ln(8.5)-ln(7.5)-(1/12)*8^(-3)表示
1/9用ln(9.5)-ln(8.5)-(1/12)*9^(-3)表示
...
1/n用ln(n+0.5)-ln(n-0.5)-(1/12)*n^(-3)表示
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 03:40:41                        

另外發現:sigma x=1至n時
黎曼積分修正下限0.5上限n+0.5,使誤差減少
(不在這裡討論,會太長)
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 03:48:53                        

例子(2):
當p>q時(p,q為正整數)
求g(p,q)=q^(-3)+(q+1)^(-3)+...+p^(-3)=?
設f(x)=x^(-3)
以下用修正上下限的黎曼積分
g(p,q)=積分(下限q-0.5上限p+0.5)f(x)dx
=(下限q-0.5上限p+0.5)(-1/2)x^(-2)
=(1/2)(q-0.5)^(-2)-(1/2)(p+0.5)^(-2)
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 03:58:38                        

例子(3):
當整數n>6時,求1+1/2+...+1/n=?
1+1/2+...+1/n
=2.45+ln(n+0.5)-ln(6.5)-(1/12)g(n,7)
=2.45+ln(n+0.5)-ln(6.5)
-(1/24)*6.5^(-2)+(1/24)(n+0.5)^(-2)
=2.45-(1/1014)-ln(6.5)
+ln(n+0.5)+(1/24)(n+0.5)^(-2)
其中(1/24)*6.5^(-2)=1/(6*13*13)=1/1014
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 04:12:38                        

2.45-1/(6*13*13)-ln(6.5)是1/n的首6項直接加,
不用上式,最後出現的常數
當1/n的首k項直接加,不用上式,
設最後在新公式出現的
常數h(k)=1+1/2+...+1/k-1/(6*(2k+1)^2)-ln(k+0.5)
將h(k)與歐拉常數C比較兩者之差
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 04:35:14                        

C=0.5772156649
h(6)=2.45-1/(6*13*13)-ln(6.5)
=0.5772116298
與C之差=0.5772156649-0.5772116298
=4.0351*10^(-6)
h(20)=1+1/2+...+1/20-1/(6*41*41)-ln(20.5)
=0.5772156236
與C之差=0.5772156649-0.5772156236
=4.13*10^(-8)
h(50)=1+1/2+...+1/50-1/(6*101*101)-ln(50.5)
=0.5772156635
與C之差=0.5772156649-0.5772156635=1.4*10^(-9)
小昭          回覆於: 2024/10/13 下午 04:41:05                        

用C取代h(k),得新公式
1+1/2+...1/n=C+ln(n+0.5)+(1/24)(n+0.5)^(-2)
其中歐拉常數C=0.5772156649
如芸          回覆於: 2024/10/16 下午 04:19:53                        

小昭          回覆於: 2024/12/6 上午 11:37:12                        

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