作者 |
標題: 發現新公式(有歐拉常數C) |
小昭 |
發表於: 2024/10/8 上午 02:54:09
新公式 1+1/2+...+1/n =C+ln(n+0.5)+(1/24)(n+0.5)^(-2) 其中歐拉常數C=0.5772156649
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小昭 |
回覆於: 2025/2/6 下午 12:32:22
再推
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小昭 |
回覆於: 2024/10/8 上午 02:58:54
(i)當n=10至99時,誤差<10^(-6) (ii)當n=100至10^6時,誤差<10^(-8) 請電腦高手驗算
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Null |
回覆於: 2024/10/10 下午 04:15:51
很棒
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 02:45:30
新公式的証明 設f(x)=ln(x) 則f’(x)=1/x f’’(x)=-x^(-2) f’’’(x)=2x^(-3) f’’’’(x)=-3!x^(-4) 由於只求近似值,只用泰勒定理的首5項 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+(1/2)f’’(a)(x-a)^2 +(1/3!)f’’’(a)(x-a)^3+(1/4!)f’’’’(a)(x-a)^4
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 02:56:54
當x=2n+1,a=2n時,則x-a=1 ln(2n+1)=ln(2n)+1/(2n)-(1/2)(2n)^(-2) +(1/3)(2n)^(-3)-(1/4)(2n)^(-4)
1/(2n)=ln(2n+1)-ln(2n)+(1/8)n^(-2) -(1/24)n^(-3)+(1/64)n^(-4) 當x=2n-1,a=2n時,則x-a=-1 ln(2n-1)=ln(2n)-1/(2n)-(1/2)(2n)^(-2) -(1/3)(2n)^(-3)-(1/4)(2n)^(-4)
1/(2n)=ln(2n)-ln(2n-1)-(1/8)n^(-2) -(1/24)n^(-3)-(1/64)n^(-4)
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 03:04:40
兩式相加,得 1/n=ln(2n+1)-ln(2n-1)-(1/12)n^(-3) 1/n=ln(n+0.5)-ln(n-0.5)-(1/12)n^(-3) 其中 ln(2n+1)-ln(2n-1) =(ln(2n+1)-ln(2))-(ln(2n-1)-ln(2)) =ln(n+0.5)-ln(n-0.5)
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 03:15:59
由於數學家希望公式簡潔,方便記憶 泰勒定理的第6項當兩式相加後為-(1/80)n^(-5) 只對n<10時有明顯影響 當-(1/12)n^(-3)用黎曼積分的誤差 比-(1/80)n^(-5)大 所以不用第6項或之後
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 03:23:02
例子(1): 1/10用ln(10.5)-ln(9.5)-(1/12)*10^(-3)表示 1/10=0.1 ln(10.5)-ln(9.5)-(1/12)*10^(-3) =0.1000001252 誤差=0.1000001252-0.1=1.252*10^(-7)
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 03:32:15
1/n的首6項直接加,不要用上式,以減少誤差 (因為沒有用泰勒定理的第6項) 即1+1/2+...+1/6=2.45 1/7用ln(7.5)-ln(6.5)-(1/12)*7^(-3)表示 1/8用ln(8.5)-ln(7.5)-(1/12)*8^(-3)表示 1/9用ln(9.5)-ln(8.5)-(1/12)*9^(-3)表示 ... 1/n用ln(n+0.5)-ln(n-0.5)-(1/12)*n^(-3)表示
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 03:40:41
另外發現:sigma x=1至n時 黎曼積分修正下限0.5上限n+0.5,使誤差減少 (不在這裡討論,會太長)
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 03:48:53
例子(2): 當p>q時(p,q為正整數) 求g(p,q)=q^(-3)+(q+1)^(-3)+...+p^(-3)=? 設f(x)=x^(-3) 以下用修正上下限的黎曼積分 g(p,q)=積分(下限q-0.5上限p+0.5)f(x)dx =(下限q-0.5上限p+0.5)(-1/2)x^(-2) =(1/2)(q-0.5)^(-2)-(1/2)(p+0.5)^(-2)
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 03:58:38
例子(3): 當整數n>6時,求1+1/2+...+1/n=? 1+1/2+...+1/n =2.45+ln(n+0.5)-ln(6.5)-(1/12)g(n,7) =2.45+ln(n+0.5)-ln(6.5) -(1/24)*6.5^(-2)+(1/24)(n+0.5)^(-2) =2.45-(1/1014)-ln(6.5) +ln(n+0.5)+(1/24)(n+0.5)^(-2) 其中(1/24)*6.5^(-2)=1/(6*13*13)=1/1014
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 04:12:38
2.45-1/(6*13*13)-ln(6.5)是1/n的首6項直接加, 不用上式,最後出現的常數 當1/n的首k項直接加,不用上式, 設最後在新公式出現的 常數h(k)=1+1/2+...+1/k-1/(6*(2k+1)^2)-ln(k+0.5) 將h(k)與歐拉常數C比較兩者之差
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 04:35:14
C=0.5772156649 h(6)=2.45-1/(6*13*13)-ln(6.5) =0.5772116298 與C之差=0.5772156649-0.5772116298 =4.0351*10^(-6) h(20)=1+1/2+...+1/20-1/(6*41*41)-ln(20.5) =0.5772156236 與C之差=0.5772156649-0.5772156236 =4.13*10^(-8) h(50)=1+1/2+...+1/50-1/(6*101*101)-ln(50.5) =0.5772156635 與C之差=0.5772156649-0.5772156635=1.4*10^(-9)
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小昭 |
回覆於: 2024/10/13 下午 04:41:05
用C取代h(k),得新公式 1+1/2+...1/n=C+ln(n+0.5)+(1/24)(n+0.5)^(-2) 其中歐拉常數C=0.5772156649
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如芸 |
回覆於: 2024/10/16 下午 04:19:53
讚
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小昭 |
回覆於: 2024/12/6 上午 11:37:12
推
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