| 作者 |
標題: (cos(x)+i*sin(x))^(1/n)=cos(x/n)+i*sin(x/n) 用棣美弗定理證明 |
| wij |
 發表於: 2020/12/9 上午 10:12:57
我覺得棣美弗定理中的指數可擴充至有理數 但找不到證明
|
| wij |
 回覆於: 2020/12/10 下午 11:04:48
1. 以cis簡寫 由整數版的棣美弗公式可證cis(x/n)爲 cis(x)^(1/n)的"解",
因多值原因 寫成 =cis((x+2*k*pi)/n)
事實上 這種分數指數運算已在使用中(數量不少) 闢如:
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%A3%A3%E8%8E%AB%E5%BC%97%E5%85%AC%E5%BC%8F
在「用棣美弗公式求根」章節中n 即當分數(1/n)用
2. 根據ㄧ個實數定理(忘了) 指數n若可以是有理數 則可擴展到實數
我個人目前沒發現什麼大問題(有 但是其它方面問題) 但網路上 不少人堅持
棣美弗公式中的指數只能是整數 其它數(有理數 實數)都不正確 不能引用？
3. 歐拉公式的問題之ㄧ是這種"指數函數"還不少 如: (-1)^(x/pi)=cis(x)
|
| Lopez |
回覆於: 2020/12/10 下午 01:29:49
可用尤拉公式導出,但算不上證明:
左式=[e^(ix)]^(1/n)=e^(ix/n)=右式
|
| 小昭 |
回覆於: 2020/12/11 上午 10:57:34
-1=cos(180度)+isin(180度)=cos(540度)+isin(540度)
=>(cos(180度)+isin(180度))^(1/2)=(cos(540
度)+isin(540度))^(1/2)
=>cos(180/2度)+isin(180/2度)=cos(540/2度)+isin(540/2
度)
=>cos(90度)+isin(90度)=cos(270度)+isin(270度)矛盾
|
| xxx |
回覆於: 2020/12/11 下午 12:52:21
n=p/q where p,q is positive integer
(cosx+isinx)^p/q
=(cospx+isinpx)^1/q
=([(cos(px/q)+isin(px/q)]^q)^1/q
=(cos(px/q)+isin(px/q)
|
| xxx |
回覆於: 2020/12/11 下午 12:58:29
回小昭
1=1^2 1=(-1)^2
1^2=(-1)^2
1=-1
你的例子和這例子情況一樣。
|
| xxx |
回覆於: 2020/12/11 下午 01:02:44
因為(cos(x/n)+i*sin(x/n))^n=cos(x)+i*sin(x)
所以(cos(x)+i*sin(x))^(1/n)=cos(x/n)+i*sin(x/n)
|
| Lopez |
回覆於: 2020/12/11 下午 02:10:35
|
| xxx |
回覆於: 2020/12/11 下午 03:53:17
進一步來說，根據代數基本定理，開n次方，就有n個值，不同是正常的。
在計算上√1=1，不會√1=-1作計算
因為(cos(x)+i*sin(x))^(1/n)應該要表示n個值，或是要代表主值說就可以呢?
|
| 小昭 |
回覆於: 2020/12/12 上午 10:49:42
設y^n=con(x)+isin(x)
則y^n=con(x+2pik)+isin(x+2pik)
其中k=0,1,2,...,n-1
=>y=con((x/n)+(2pik/n))+isin((x/n)+(2pik/n))
其中k=0,1,2,...,n-1
|
| wij |
回覆於: 2020/12/12 下午 10:06:58
我的問題是"棣美弗定理中的指數可否擴充至有理數" (不用歐拉公式)
"其它"方面問題 放在進階數學討論區
http://comp.hihosting.hinet.net/post/show.asp
|
| Lopez |
回覆於: 2020/12/13 下午 02:20:01
Q: 棣美弗定理中的指數可否擴充至有理數?
Ans: 否. 原因如下:
若命題成立,則對任意實數x,有理數q,下式皆應成立:
(cos x + i*sin x)^q = cos(qx) + i*sin(qx) ...(1)
但存在以下反例,故無法擴充至有理數:
例1: x=3π , q=1/2 , (1)不成立.
例2: x=4π , q=3/4 , (1)不成立.
|
| wij |
回覆於: 2020/12/13 下午 05:57:03
我當您所描述的是字面表法問題...如同√1=1=-1 或 1=√(-1*-1)=i*i=-1 ...
或有關 x^(a/b)=(x^a)^(1/b)= x(^(1/b))^a 不成立的這類問題
這方面 我較傾向考慮這類周期函數 如cos(x) 計算時可能皆應寫成cos(x+2kπ)
換句話說 cos(x)與cos(x+2π)不完全相等
因此"棣美弗公式"較完整的敘述:
(cos(x)+i*sin(x))^n= cos(n*(x+2kπ))+i*sin(n*(x+2kπ))
而我在此的問題是 "棣美弗定理中的指數可否擴充至有理數" (不用歐拉公式)
對於分數指數 (cos(x)+i*sin(x))^(1/n) 可以"驗證" cos(((x+2kπ)/n)+i*sin((x+2kπ)/n)
皆正確 只是這種推導過程不知如何清楚表示？
|
| xxx |
回覆於: 2020/12/15 下午 04:16:05
如果棣美弗定理中的指數可擴充至有理數，不成立
(cos x + i*sin x)^q = cos(qx) + i*sin(qx) ...(1)
但存在以下反例,故無法擴充至有理數:
例1: x=3π , q=1/2 , (1)不成立.
例2: x=4π , q=3/4 , (1)不成立.
即(e^ix)^q=e^iqx 都不會成立，當q是有理數，是嗎?
|
| wij |
回覆於: 2020/12/15 下午 09:08:57
回xxx: 我猜你是問Lopez
即已看到 就回我的想法: 目前已知狀況是 (e^ix)^q=e^iqx 不總是成立
深入ㄧ點 可參考進階數學討論區 標題:"周期性指數函數等價於常數函數?"
再推廣ㄧ點: 實數或複數並不"完備"
|
