| 作者 |
標題: 多項式除法：求x^48除以(x^2+x+3)的餘式 |
| 克勞棣 |
 發表於: 2020/5/5 上午 10:26:36
如題。謝謝！
這不是作業，也不是任何考試的題目(所以應該不會有非常高超的技巧可以用)，而是我自己想
到的題目。
我努力算答案，求得答案是(169756952960x+107649721761)。不曉得對不對？
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| idiot |
 回覆於: 2020/5/7 下午 08:15:18
是的! 謝謝提醒
r(x)表達式的確要用同餘(mod)表示
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| 空無 |
回覆於: 2020/5/5 上午 10:51:03
用軟體Maple算出來是169756952960*x+107649721761
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| 克勞棣 |
回覆於: 2020/5/5 下午 01:36:00
不過我是用微軟內建的"小算盤"(僅用來計算很大的已知整數的減法與乘法運算)與我的人腦
算的，有人可以提供自己的人腦算法，讓我比較一下與我的算法是否大同小異嗎？
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| Lopez |
回覆於: 2020/5/5 下午 03:19:58
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| 克勞棣 |
回覆於: 2020/5/5 下午 08:17:46
我與Lopez君的算法完全不一樣，但殊途同歸，看來我算對了。
謝謝。
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| idiot |
回覆於: 2020/5/6 下午 02:45:25
餘式定理:f(x)=p(x)q(x)+r(x),令p(x)=0可得餘式
設x^48=(x^2)^24=(x^2+x+3)q(x)+r(x)
令x^2+x+3=0＝＞x^2=-x-3代入上式的x^2項,並重複執行之
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| idiot |
回覆於: 2020/5/6 下午 02:48:16
=>(-x-3)^24=r(x)
=>r(x)=[(-x-3)^2]^12=(x^2+6x+9)^12
=>r(x)=(-x-3+6x+9)^12=[(5x+6)^2]^6
=>r(x)=(25x^2+60x+36)^6
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| idiot |
回覆於: 2020/5/6 下午 02:49:15
=>r(x)=[25(-x-3)+60x+36]^6=[(35x-39)^2]^3
.......=(1225x^2-2730x+1521)^3
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| idiot |
回覆於: 2020/5/6 下午 02:49:56
=>r(x)=[1225(-x-3)-2730x+1521]^3=(-3955x-2154)^3
.......=(-3955x-2154)^2×(-3955x-2154)
.......=(15642025x^2+17038140x+4639716)×(-3955x-2154)
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| idiot |
回覆於: 2020/5/6 下午 02:50:29
=>r(x)=[15642025(-x-3)+17038140x+4639716]×(-3955x-2154)
.......=(1396115x-42286359)×(-3955x-2154)
.......=-5521634825x^2+164235318135x+91084817286
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| idiot |
回覆於: 2020/5/6 下午 02:50:57
=>r(x)=5521634825(-x-3)+164235318135x+91084817286
.......=169756952960x+107649721761
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| idiot |
回覆於: 2020/5/6 下午 02:52:58
不知何故無法一次送出? 請指教!
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| 克勞棣 |
回覆於: 2020/5/7 上午 10:46:14
閣下如果要用同餘觀念，應該用同餘式，而不是等式，因為r(x)始終就是一次式，不可能是
24次式，然後又是12次式，又是6次式.....
就好像您可以寫「18≡53(mod 5)」，但不能寫「18=53」或「53除以5的餘數是18」一樣。請
指教。
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| 克勞棣 |
回覆於: 2020/5/7 上午 11:57:15
我雖然也用同餘式，但與您不太相同，請指教。
顯然x^2+x+3≡0(mod x^2+x+3)，則
(以下省略(mod x^2+x+3))
x^2+x+1≡(-2)
→(x-1)(x^2+x+1)≡(-2)(x-1)
→x^3-1≡-2x+2
→x^3≡-2x+3
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| 克勞棣 |
回覆於: 2020/5/7 下午 12:00:20
x^48≡(x^3)^16≡(-2x+3)^16
≡((-2x+3)^2)^8≡(4x^2-12x+9)^8≡(-16x-3)^8
(將括號內的二次式除以(x^2+x+3)，求其餘式，下同)
≡(256x^2+96x+9)^4≡(-160x-759)^4
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| 克勞棣 |
回覆於: 2020/5/7 下午 12:01:22
≡(25600x^2+242880x+576081)^2≡(217280x+499281)^2
≡47210598400x^2+216967551360x+249281516961≡169756952960x+107649721761
(我也無法一次送出，系統真的有點問題)
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