| 作者 |
標題: 如何將自然數1~8排在圓周上，使得每一個數字被相鄰兩數差所整除? |
| 瑪莉 |
 發表於: 2020/4/17 上午 12:26:37
如何將自然數1~8排在圓周上，使得每一個數字被相鄰兩數差所整除?
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| Lopez |
 回覆於: 2020/4/17 上午 01:47:38
有8組解:
14372865
15273846
16243587
16423587
16425387
16453827
16483527
17264538
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| 瑪莉 |
回覆於: 2020/4/17 上午 02:54:58
請教老師,可有列式供參考.
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| Lopez |
回覆於: 2020/4/17 下午 12:12:52
用數學方法算出所有解,我不會.
上述8組解,我用半程式半人工的方法求得,步驟如下:
Step 1. 直線排列,列出8!=40320組解.
Step 2. 分別驗證各組解,每一個數字是否被相鄰兩數差所整除.
Step 3. 環狀排列,剔除重複者(例:14372865與43728651屬類似解,剔除後者)
Step 4. 順時針與逆時針屬類似解,剔除重複者(例:16453827與17283546屬類似解,剔除後者)
前兩步驟工程浩大,寫程式算出比較有效率,有128組解;
後兩步驟的程式較難寫,故採人工剔除,僅需10分鐘左右.
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 01:36:37
設f(n)代表n的相鄰兩數差
f(1)=1
有六種
12xxxxx3
13xxxxx4
14xxxxx5
15xxxxx6
16xxxxx7
17xxxxx8
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| 瑪莉 |
回覆於: 2020/4/18 上午 12:23:12
謝謝老師,雖然我不懂程式
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8
k1(a1-a3)=a2
k2(a5-a3)=a4
a4-a2=k2a5-a3(k2+k1)-k1a1
k2a5-k1a1是a3的倍數
~接下來毫無頭緒了
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 01:46:23
case one:當17xxxxx8時
f(7)=1
(因為8已用,f(7)<>7)
172xxxx8
f(2)=1,2
有兩種
1725xxx8
1726xxx8
f(5)=1,f(6)=1,2,3
(因為7已用,f(5)<>5)
(因為8已用,f(6)<>6)
有四種
17253xx8 (餘下4,6未用)
17263xx8 (餘下4,5未用)
17264xx8 (餘下3,5未用)
17265xx8 (餘下3,4未用)
將餘下數字代入,得
17264538
所以當17xxxxx8時,有1解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 01:50:20
case two:當16xxxxx7時
f(6)=1,2,3
(因為7已用,f(6)<>6)
有三種
162xxxx7
163xxxx7
164xxxx7
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 01:58:00
case 2.1:當162xxxx7時
f(7)=7
(因為2已用,f(7)<>1)
162xxx87
f(2)=1,2
有兩種
1624xx87 (餘下3,5未用)
1625xx87 (餘下3,4未用)
將餘下數字代入,得
16243587
所以當162xxxx7時,有1解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:03:00
case 2.2:當163xxxx7時
f(3)=1
(因為3已用,f(3)<>3)
1635xxx7
f(7)=1,7
有兩種
1635xx27 (餘下4,8未用)
1635xx87 (餘下2,4未用)
將餘下數字代入,得無解
所以當163xxxx7時,無解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:10:15
case 2.3:當164xxxx7時
f(7)=1,7
有兩種
164xxx27
164xxx87
f(4)=1,2,4
有四種
1645xx27 (餘下3,8未用)
1648xx27 (餘下3,5未用)
1642xx87 (餘下3,5未用)
1645xx87 (餘下2,3未用)
將餘下數字代入,得
16423587
16425387
16453827
16483527
所以當164xxxx7時,有4解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:10:15
case 2.3:當164xxxx7時
f(7)=1,7
有兩種
164xxx27
164xxx87
f(4)=1,2,4
有四種
1645xx27 (餘下3,8未用)
1648xx27 (餘下3,5未用)
1642xx87 (餘下3,5未用)
1645xx87 (餘下2,3未用)
將餘下數字代入,得
16423587
16425387
16453827
16483527
所以當164xxxx7時,有4解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:15:38
case three:當15xxxxx6時
f(5)=1
(因為6已用,f(5)<>5)
152xxxx6
f(2)=1,2
有三種
1523xxx6
1524xxx6
1527xxx6
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:19:12
case 3.1:當1523xxx6時
因為1,3已用,f(3)<>1
因為5已用,f(3)<>3
f(3)=無
所以當1523xxx6時,無解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:23:33
case 3.2:當1524xxx6時
f(4)=1
(因為4已用,f(4)<>2)
(因為6已用,f(4)<>4)
15243xx6
將餘下7,8代入,得無解
所以當1524xxx6時,無解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:26:52
case 3.3:當1527xxx6時
f(7)=1
15273xx6
將餘下4,8代入,得
15273846
所以當1527xxx6時,有1解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:30:39
case four:當14xxxxx5時
f(4)=1,2
(因為5已用,f(4)<>4)
有兩種
142xxxx5
143xxxx5
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:36:51
case 4.1:當142xxxx5時
f(5)=5
(因為2已用,f(5)<>1)
142xxx65
f(2)=1
(因為2,6已用,f(2)<>2)
1423xx65
將餘下7,8代入,得無解
所以當142xxxx5時,無解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:42:54
case 4.2:當143xxxx5時
f(3)=3
(因為3,5已用,f(3)<>1)
1437xxx5
f(7)=1
14372xx5
將餘下6,8代入,得
14372865
所以當143xxxx5時,有1解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:50:18
case five:當13xxxxx4時
f(3)=1
(因為4已用,f(3)<>3)
132xxxx4
f(2)=2
(因為2,4已用,f(2)<>1)
1325xxx4
f(5)=5
(因為1,3已用,f(5)<>1)
13257xx4
將餘下6,8代入,得無解
所以當13xxxxx4時,無解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:54:07
case six:當12xxxxx3時
因為2已用,f(2)<>1
因為3已用,f(2)<>2
f(2)=無
所以當12xxxxx3時,無解
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| 小昭 |
回覆於: 2024/8/30 下午 02:57:49
答案共有8個
14372865
15273846
16243587
16423587
16425387
16453827
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