| 作者 |
標題: 哪些三角形的三邊長與面積皆為整數且不為直角三角形？ |
| 克勞棣 |
 發表於: 2018/12/22 下午 01:21:11
請問哪些三角形的三邊長與面積皆為整數，且不為直角三角形？
例如三邊長(13,14,15)，面積84的三角形。
有沒有什麼充分條件(但不一定是必要條件)可製造這種三角形？
謝謝！
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| Lopez |
 回覆於: 2018/12/22 下午 09:48:43
設此三邊長為 a,b,c , 且 a ≤ b ≤ c
由海龍公式得此三角形面積:
面積 = √[ s(s-a)(s-b)(s-c) ]
其中 s = (a+b+c)/2
故滿足題目的三角形,可由以下三條件皆滿足時製造:
(1) a² + b² ≠ c²
(2) a+b+c 為偶數 ... 註解1
(3) s(s-a)(s-b)(s-c) 為完全平方數 ... 註解2
註解1
"a+b+c 為偶數" 這樣的條件在數學上很明確,
但若要將此程式化時,這樣的條件對電腦是很抽象的,
故可改為以下條件:
s = (a+b+c)/2
s = [s] , 其中 [ ] 為高斯符號.
註解2
"s(s-a)(s-b)(s-c) 為完全平方數"
要將此程式化時,可改為:
T = s(s-a)(s-b)(s-c)
√T = [ √T ]
當邊長限定在 20 以內時, Excel VBA 程式碼如下:
程式執行後,有 12 組解:
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| Lopez |
回覆於: 2018/12/22 下午 10:03:46
抱歉,有兩行程式碼寫錯了,
因為 a <= b < =c , 所以 a,b 都有可能為 20 ,因此:
For a = 1 To U-2
For b = a To U-1
這兩行程式應更正為:
For a = 1 To U
For b = a To U
修正後的執行結果還是這 12 組解,沒有增加.
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| yani |
回覆於: 2018/12/22 下午 10:23:29
給Lopez：僅討論等腰三角形，且三邊最大公因數=1，就有無限多解了
您列出來的僅是舉例吧?
設三邊為c,c,2b，c為奇數
設2b邊之高為a，則aa+bb=cc，再僅討論a,b,c兩兩互質時
得到a=uu-vv(或2uv)，b=2uv(相對地，或uu-vv)，c=uu+vv
其中u>v，u,v一奇一偶，(u,v)=1
例一：令u=10, v=9，可得a=19，b=180，c=181，此時三角形面積=180*19=3240
更多例子(若格式跑掉，請忽略下表)：
u v b=uu-vv a=2uv c=uu+vv △面積
10 1 99 20 101 1980
10 3 91 60 109 5460
11 2 117 44 125 5148
11 4 105 88 137 9240
12 1 143 24 145 3432
12 5 119 120 169 14280
u v a=uu-vv b=2uv c=uu+vv △面積
10 7 51 140 149 7140
10 9 19 180 181 3420
11 6 85 132 157 11220
11 8 57 176 185 10032
12 7 95 168 193 15960
12 11 23 264 265 6072
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| yani |
回覆於: 2018/12/22 下午 10:26:20
u _ v _ a=uu-vv _ b=2uv _ c=uu+vv _
△面積
10 _ 7 _ 51 _ 140 _ 149 _
7140
10 _ 9 _ 19 _ 180 _ 181 _
3420
11 _ 6 _ 85 _ 132 _ 157 _
11220
11 _ 8 _ 57 _ 176 _ 185 _
10032
12 _ 7 _ 95 _ 168 _ 193 _
15960
12 _ 11 _ 23 _ 264 _ 265 _
6072
u _ v _ b=uu-vv _ a=2uv _ c=uu+vv _
△面積
10 _ 1 _ 99 _ 20 _ 101 _
1980
10 _ 3 _ 91 _ 60 _ 109 _
5460
11 _ 2 _ 117 _ 44 _ 125 _
5148
11 _ 4 _ 105 _ 88 _ 137 _
9240
12 _ 1 _ 143 _ 24 _ 145 _
3432
12 _ 5 _ 119 _ 120 _ 169 _
14280
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| yani |
回覆於: 2018/12/22 下午 10:35:01
三角形三邊分別為2b,c,c時，面積亦為整值之12例子
但其實有無限多種
(2b,c,c)=(280,149,149)，(360,181,181)，(264,157,157)，
(352,185,185)，(336,193,193)，(528,265,265)
(2b,c,c)= (198,101,101)，(182,109,109)，(234,125,125)，
(210,137,137)，(286,145,145)，(238,169,169)
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| 克勞棣 |
回覆於: 2018/12/23 上午 12:01:55
呃....抱歉！Lopez君：您這樣終究還是電腦算的，不是人腦算的？
不才倒有個簡單的方法：
當n為3以上的奇數時，易知邊長(n. (n^2-1)/2, (n^2+1)/2)的三角形是三邊長與面積
皆為整數的直角三角形，例如(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(9,40,41)、
(11,60,61).....，
把兩個相異的這種直角三角形的其中一股取最小公倍數，等比例放大成相似形，再把此
兩個直角三角形左右相接，就得到一個題目所要求的三角形(而且其中一邊上的高也是
整數)。
例如
把邊長(9,12,15)的直角三角形與邊長(5,12,13)的直角三角形共同的的12接在一起，得
到(13,14,15)，面積84，滿足條件；
把邊長(18,24,30)的直角三角形與邊長(7,24,25)的直角三角形共同的24接在一起，得
到(25,25,30)，面積300，滿足條件；
把(40,96,104)與(9,40,41)接在一起，得到(41,104,105)，面積2100，滿足條件；
把(45,60,75)與(11,60,61)接在一起，得到(56,61,75)，面積1680，滿足條件；
把(12,16,20)與(5,12,13)接在一起，得到(13,20,21)，面積126，滿足條件；
........
把它一般化：m.n為3以上的相異的奇數，則邊長(n(m^2+1)/2 , m(n^2+1)/2 , (m+n)
(mn-1)/2)的三角形，面積為mn(mn-1)(m+n)/4，滿足條件。
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| Lopez |
回覆於: 2018/12/23 上午 01:50:19
版主大人,您問的應該是"充分條件",因此我答:
滿足題目的三角形,可由以下三條件皆滿足時製造:
(1) a² + b² ≠ c²
(2) a+b+c 為偶數
(3) s(s-a)(s-b)(s-c)
按照你的解,我想你應該是要問"怎麼找"吧?
若是問怎麼找,需明定找到的程度應該如何.
你將三個變數 a,b,c 的解,降到 二個變數 m,n 的解,
確實已將找的難度降低許多.
我想反問,是否存在 一個變數 的解,因此建議將問題更改如下:
三角形的三邊長為 a,b,c ,
是否存在三個單變數函數 f(n),g(n),h(n)
且 (a,b,c) = ( f(n) , g(n) , h(n) )
使得三角形的三邊長與面積皆為整數，且不為直角三角形.
謝謝!!
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| 克勞棣 |
回覆於: 2018/12/23 上午 11:46:11
回Lopez君：
把兩個邊長(n, (n^2-1)/2, (n^2+1)/2)的直角三角形拼成一個等腰三角形，其中n是3以
上的奇數？
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| Lopez |
回覆於: 2018/12/23 下午 02:21:32
版主大人,我的反問並非是找麻煩,而是符合題意的"充分條件"實在是很多,
也許10個人有9個答案,所以可能需要再界定稍微明確一點.
當然,顯函數且獨立變數愈少的解,在實務的操作上比隱函數的解要好.
我的解用隱函數,所以很難計算,甚或要用到電腦,確實很糟!
您所說的一解:
兩個邊長(n, (n^2-1)/2, (n^2+1)/2) 的直角三角形拼成一個等腰三角形,
確實可找到三個單變數函數 f(n),g(n),h(n) 的解以符合題意.
因此,我的反問可結案, 謝謝 !!
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| 克勞棣 |
回覆於: 2018/12/23 下午 10:54:55
Lopez君：收到，了解，謝謝！
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