| 作者 |
標題: 若P(x,y)為曲線:3x^2+2√3xy+5y^2=12上之動點則: |
| 2320 |
 發表於: 2014/11/23 下午 11:13:56
若P(x,y)為曲線:3x^2+2√3xy+5y^2=12上之動點則:
(1)P到原點之最大距離為? (2)P到原點之最小距離為?
(3)x^2+y^2的最大值? (4)x^2+y^2的最小值?
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| P(x,y) |
 回覆於: 2014/11/24 上午 12:33:53
將原曲線逆時針旋轉 30°：
原方程式的
x 用 y sin(30°) + x cos(30°) = (y + (√3)x)/2 取代；
y 用 y cos(30°) - x sin(30°) = ((√3)y - x)/2 取代。
旋轉後的曲線方程式變成
3[(y + (√3)x)/2]² + 2√3[(y + (√3)x)/2][((√3)y - x)/2]
+ 5[((√3)y - x)/2]² = 12
化簡得
x² + 3y² = 6
化為橢圓標準式
(x/√6)² + (y/√2)² = 1
所以：
(1)P到原點之最大距離 = 半長軸的長 = √6
(2)P到原點之最小距離 = 半長短的長 = √2
(3)x² + y² 的最大值 = 6
(4)x² + y² 的最小值 = 2
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| P(x,y) |
回覆於: 2014/11/24 上午 12:45:06
錯字更正：
樓上答案 (2) 中的“半長短”更正為“半短軸”。
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| y |
回覆於: 2014/11/24 上午 01:13:27
令發生最大或最小值的點為x=a,y=b
3a^2+2√3ab+5b^2=12, 求aa+bb之最大及最小值
使用Lagrange乘數法則: 令(6a+2√3b, 10b+2√3a)=k(2a,2b)
(6a+2√3b)/(2a)=(10b+2√3a)/(2b)=k; 3+√3b/a=5+√3a/b
兩邊同乘以√3b/a,且令b/a=t: 3tt-2√3t-3=0, t=[2√3+-√48)]/6=√3或-1/√3
aa+bb=aa+aatt=aa(tt+1)=4aa或4aa/3
x=a, y=b=ta=√3a或-a/√3; 3aa+2√3ab+5bb=12
當x=a, y=b=√3a時, P(x,y)=3aa+6aa+15aa=12, aa=1/2; 此時aa+bb=4aa=2
當x=a, y=b=-a/√3時, P(x,y)=3aa-2aa+5/3aa=12, aa=9/2; 此時aa+bb=4aa/3=6
所求(1)6, (2)2; (3)(4)略
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| y |
回覆於: 2014/11/24 上午 01:16:25
看了P(x,y)的回答,我才知我寫錯了
我求的aa+bb之最大最小值,分別為6,2,其實是(3)(4)的答案
至於(1)(2)答案,由於(a,b)與原點(0,0)之距離為√(aa+bb)
所以(1)(2)答案分別為√6,√2
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| P(x,y) |
回覆於: 2014/11/24 上午 10:05:08
另解﹝使用三角函數﹞：
二元二次方程 3x² + 2√3 xy + 5y² = 12 的
圓錐曲線判別式為 (2√3)² - 4*3*5 = 12 - 60 < 0，
所以圖形為橢圓。
方程式中的變數 x, y 分別用 -x, -y 代換，
會得到一樣的方程式，所以曲線圖形對稱於
原點，即原點為此橢圓的中心。因此長軸和
短軸皆過原點。
過原點的直線可表示為 y = tanθ x，
其中 θ 為此直線與正 x 軸的夾角。
立聯立方程式解此直線與橢圓的交點：
╭ y = tanθ x ..... (a)
│
╰ 3x² + 2√3 xy + 5y² = 12 ..... (b)
(a) 代入 (b)，得
3x² + 2√3 x(tanθ x) + 5(tanθ x)² = 12
(5 tan²θ + 2√3 tanθ + 3) x² = 12
x² = 12 / (5 tan²θ + 2√3 tanθ + 3)
上式代入 (a)，得
y² = 12 tan²θ / (5 tan²θ + 2√3 tanθ + 3)
x² + y²
= 12 (tan²θ + 1) / (5 tan²θ + 2√3 tanθ + 3)
= 12 sec²θ / (5 sec²θ + 2√3 tanθ - 2)
= 12 / (5 + 2√3 sinθcosθ - 2cos²θ)
= 12 / [4 + √3 sin(2θ) - cos(2θ)] ﹝倍角公式﹞
= 6 / [2 + sin(2θ)*(½√3) - cos(2θ)*(½)]
= 6 / [2 + sin(2θ)cos(30°) - cos(2θ)sin(30°)]
= 6 / [2 + sin(2θ - 30°)] ﹝和角公式﹞
因為 sin(2θ - 30°) 之最小值為 -1，
所以 x² + y² 之最大值為 6 / (2 - 1) = 6。
因為 sin(2θ - 30°) 之最大值為 1，
所以 x² + y² 之最小值為 6 / (2 + 1) = 2。
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| P(x,y) |
回覆於: 2014/11/25 上午 12:02:45
另解﹝使用極座標﹞：
直角座標 (x,y) 和極座標 (r,θ) 的關係為：
╭ x = r cosθ
│
╰ y = r sinθ
利用此關係將原直角方程轉換為極方程：
3(r cosθ)² + 2√3 (r cosθ)(r sinθ) + 5(r sinθ)² = 12
(3 cos²θ + 2√3 cosθsinθ + 5 sin²θ) r² = 12
[4 + √3 sin(2θ) - cos(2θ)] r² = 12 ﹝倍角公式﹞
[2 + sin(2θ)*(½√3) - cos(2θ)*(½)] r² = 6
[2 + sin(2θ - 30°)] r² = 6 ﹝和角公式﹞
所以，
x² + y² = r² = 6 / [2 + sin(2θ - 30°)]。
其餘同樓上。
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