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\|─	國中數學競賽題目


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作者	標題: 國中數學競賽題目
ㄚ泰	發表於: 2014/1/15 上午 08:11:02 設某數的第n項為√﹛1+1/〔 (n+1)^2〕+1/〔 (n+2)^2〕﹜+ (-1)^n/(n+3)，其中n為正整數，若此數列的前2013項之和為L，且a<L<a+1，其中a是某正整數，求a? 我已經算出√﹛1+1/〔 (n+1)^2〕+1/〔 (n+2)^2〕﹜ =1+1/(n+1)-1/(n+2) 所以前2013項之和L = 2013+(1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/2014-1/2015)+(-1/4+1/5- 1/6+1/7-1/8+…-1/2016) = 2013+(1/2-1/2015)+(-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+…-1/2016), 接下來呢?
y	回覆於: 2014/1/15 上午 08:40:51 假設L=2013+(1/2-1/2015)+(-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+…-1/2016) 若數列an各項是正負交錯出現的，｜an｜是遞減的則a1+a2+a3+...+an<｜a_(n+1)｜即-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+…-1/2016<1/2017 2013<L<2013+(1/2-1/2015)+1/2017<2014，a=2013
ㄚ泰	回覆於: 2014/1/15 上午 11:41:27 若數列an各項是正負交錯出現的，｜an｜是遞減的則a1+a2+a3+...+an<｜a(n+1)｜ why? 怎麼證明呢?
y	回覆於: 2014/1/16 上午 04:56:22 數學歸納法,是證法之一,留待你去想一想,好嗎?
ㄚ泰	回覆於: 2014/1/16 上午 08:36:46 an各項是正負交錯出現的，｜an｜是遞減的例如an=(-1)^(n+1)/(n+1) 則a1+a2+a3=1/2-1/3+1/4並沒有小於｜a4｜=1/5 所以這推論是正確的嗎?
y	回覆於: 2014/1/17 上午 05:16:44 若數列an各項是正負交錯出現的，｜an｜是遞減的則a1+a2+a3+...+an<｜a(n+1)｜我打錯了，應是：若無限級數數列an，｜an｜是遞減的則Ｓ－[a1-a2+a3-a4+-.....+(-1)^(n+1)an]＜｜a(n+1)｜即S-Sn＜｜a(n+1)｜, 其中S=Σ(-1)^(k+1)ak， k=1~∞ 也就是:正負交錯, 且各項取絕對值後是遞減的無窮級數, 必收斂且計算到第n項的和的誤差, 會小於第n+1項的絕對值
y	回覆於: 2014/1/17 上午 05:21:23 另外：(1/2-1/2015)+(-1/4+1/5-1/6+…-1/2016) =(1/2-1/4-1/2015)+(1/5-1/6)+…+(1/2015-1/2016)>0 又：-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+…-1/2016 =(-1/4+1/5)+(-1/6+1/7)+...…+(-1/2014+1/2015)-1/2016<0 綜合以上2013+0<2013+(1/2-1/2015)+(-1/4+1/5-1/6+…-1/2016) <2013+(1/2-1/2015)<2013+1=2014，L=2013
ㄚ泰	回覆於: 2014/1/20 下午 10:11:09 若無限級數數列an，｜an｜是遞減的則Ｓ－[a1-a2+a3-a4+-.....+(-1)^(n+1)*an]＜｜a(n+1)｜我的證明如下，不知道對不對? S-Sn =a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)+a(n+4)+…. <=｜a(n+1)｜-｜a(n+2) ｜+｜a(n+3) ｜-｜a(n+4) ｜+…. =｜a(n+1)｜-(｜a(n+2) ｜-｜a(n+3) ｜)-(｜a(n+4) ｜-｜a(n+5) ｜)-…. <｜a(n+1)｜可是，國中生怎知道這個呢?