ASP 討論版

	昌爸工作坊論壇
\|─	三次方程式


回覆	搜尋	返回	管理

作者	標題: 三次方程式
hdui	發表於: 2008/4/16 下午 02:43:38 a,b是整數,x^3+ax^2+bx-1=0有比3小之三相異正實根, 求a+3b=?
color	回覆於: 2008/4/17 下午 12:14:04 令三根α、β、γ且0<α<β<γ<3 由根與係數關係α+β+γ=-a＜9=>a＞-9 由算幾不等式 α+β+γ＞3(αβγ)^(1/3)=>-a＞3=>a＜-3=> -9＜a＜-3 αβ+βγ+γα＞3(αβγ)^(2/3)=>b＞3 令f(x)=x^3+ax^2+bx-1 f’(x)=3x^2+2ax+b，f’(x)=0=>x=[-2a±√(4a^2-12b)]/6 因為f(x)=0三根皆小於0 由圖形判斷，f(x)極小值出現於x=[-2a+√(4a^2-12b)]/6時所以[-2a+√(4a^2-12b)]/6＜3 整理成-27-6a＜b＜a^2/3...() -9＜a＜-3 (1)a=-8代入()，21＜b＜64/3，b無解 (2)a=-7代入()，15＜b＜49/3，b=16 f(x)=x^3-7x^2+16x-1，由堪根定理知f(x)=0只有一實根，不合 (3)a=-6代入()，9＜b＜12，b=10,11，同(2)之討論，不合 (4)a=-5代入()，3＜b＜25/3，b=4,5,6,7，同(2)之討論，不合 (5)a=-4代入()，-4＜b＜16/3，b=4,5 當b=4時，f(x)=x^3-4x^2+4x-1=0，(x-1)(x^2-3x+1)=0 x=1或x=(3±√5)/2，合乎題意當b=5時，f(x)=0只有一實根，不合由(1)~(5)之討論，a=-4，b=4是唯一滿足條件的整數，故a+3b=8
小昭	回覆於: 2024/12/13 下午 01:12:55 (x^3+ax^2+bx-1)/(x^2)=0 x+a+b/x-(1/x^2) a+(1/x)b=(1/x^2)-x 當x=1/3時 a+3b=3^2-(1/3) a+3b=26/3