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作者	標題: 數學歸納法
robinlin	發表於: 2007/11/8 下午 08:52:02 以下是不會做,或是認為怪怪的題目,請各位幫一下已知:n=1,2,3,...,40時,n^2-n+41,都是質數,由此是否可推知 n^2-n+41對一切自然數n都是質數? 試證:對任意正整數n,,(n^2+5)是3的倍數試證:對一切自然數n,3^n+7^n-2恆被8整除試證:對任意正整數n與正數a>2,a^n≧na 用數學歸納法證明:對任意正整數n≧4,2^n>n+5 一數列{an}的首項是1,而對n≧1,an+1=√2+an,試證:對任意正整數n≧2時,an>1 判定下列命題是否成立:"對任意質數P,2^p-1都是質數
1	回覆於: 2025/2/22 上午 10:36:17 1111
小昭	回覆於: 2025/2/22 上午 10:58:56 設f(m)=n^2-n+41 當f(a)=a^2-a+41=b 其中a,b為整數 f(b+a)=(b+a)^2-(b+a)+41 =(b^2+2ab+a^2)-(b+a)+41 =(b^2+2ab-b)+(a^2-a+41) =(b^2+2ab-b)+b =b(b+2a) 即f(b+a)不是質數
小昭	回覆於: 2025/2/22 上午 11:05:52 例子: f(a)=a^2-a+41=b f(0)=41,f(41)=4141 f(1)=41,f(42)=4143 f(2)=43,f(45)=4347 f(3)=47,f(50)=4753
w	回覆於: 2007/11/9 上午 07:00:02 1.已知:n=1,2,3,...,40時,n^2-n+41,都是質數,由此是否可推知 n^2-n+41對一切自然數n都是質數? ++++++++++++++++++++++++++++++ n=41時就不成立了 41^2 -41 +41 =41^2是合數
robinlin	回覆於: 2007/11/10 上午 10:44:59 請問一下,數學歸納法有一定標準的解法嗎?
w	回覆於: 2007/11/9 上午 07:09:35 2.試證:對任意正整數n,,(n^2+5)是3的倍數 n÷3餘數可能0,1,2=>n^2÷3餘數可能0,1,1=>(n^2+5)÷3餘數可能5,0,0 => n=3倍數,,(n^2+5)不是3的倍數 =>修正為 <對任意不被3整除的正整數n,,(n^2+5)是3的倍數>
w	回覆於: 2007/11/9 上午 07:36:52 3試證:對一切自然數n,3^n+7^n-2恆被8整除當n=4時 3^4+7^4 -2= n=1=>3^1+7^1-2=8被8整除 n=2=>3^2+7^2-2=56被8整除 .......... 設n<=k時3^k+7^k-2恆被8整除=>3^k+7^k-2=8m=> 7^k=8m+2-3^k 當n=k+1時3^(k+1)+7^(k+1)-2=33^k+77^k -2=33^k+7(8m+2-3^k)-2 =33^k+56m+14-73^k-2=56m+12-43^k=56m+4(3-3^k)=8倍數因為 56m=8(7m) ; 3-3^k是偶數 =>4(3-3^k)=8倍數由數歸得證
w	回覆於: 2007/11/9 上午 11:04:30 試證:對任意正整數n與正數a>2,a^n≧na n=1時 a^1=a = 1a 成立 n=2時 a^2 - 2a= a(a-2)>0 => a^2 >2a 成立 ....... 設n<=k時 a^k≧ka成立當n=k+1時 a^(k+1)- (k+1)a=aa^k-ka-a-aka+aka=a(a^k-ka)+a(ak-k-1)=* a(a^k-ka)>=0 ; a(ak-k-1)>a(2k-k-1)=a(k-1)>=0 => * >0 即 a^(k+1)>= (k+1)a 由數歸得證
w	回覆於: 2007/11/9 上午 11:36:29 5.用數學歸納法證明:對任意正整數n≧4,2^n>n+5 n=4=> 2^4=16>4+5=9成立 n=5=> 2^5=32>5+5=10成立設當4<_n<_k時 2^k>k+5...* 當n=k+1時 2^(k+1) - (k+1+5)=22^k - k-6...* 由===> 22^k > 10k+5=>22^k-k-6 > 10k+5-k-6=9k-1>=94-1=35 => **>0 =>2^(k+1) > (k+1 +5) 由數歸 ok
w	回覆於: 2007/11/9 下午 12:08:50 判定下列命題是否成立:"對任意質數P,2^(p-1)都是質數 ______________________________ 否 p= 11 , 則 2^11 - 1 = 2047 不為質數 . 因 : 23 * 89 = 2047
w	回覆於: 2007/11/9 下午 12:28:52
yani	回覆於: 2007/11/10 下午 11:18:46 1.設f(n)=nn-n+41 n=1時，f(1)=1^2-1+41=41是質數設f(k)為質數，k＞＝１則f(k+1)=(kk+2k+1)-(k+1)+41=kk+k+41=f(k)+2k 由於f(k)是質數，不能保證f(k)+2k亦是質數故不能證明對一切的自然數n，nn-n+41皆質數事實上，f(n)非皆質數，反例之一：f(41)為41倍數另外，已被證實：不存在任何整係數多項式f(x) 使得當x為所有自然數時，f(x)皆為質數
robinlin	回覆於: 2007/11/11 下午 01:55:25 請問一下,數學歸納法有一定標準的解法嗎?
w	回覆於: 2007/11/11 下午 02:04:11 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95