ASP 討論版

	昌爸工作坊論壇
\|─	如何判斷是否為二元一次方程式


回覆	搜尋	返回	管理

作者	標題: 如何判斷是否為二元一次方程式
方程式	發表於: 2006/4/11 下午 09:41:43 請問 3(2x+4y)=4(x+3y) 是否為二元一次方程式? 若化簡整理完為2x=0 還能稱作二元一次方程式嗎? 那麼是要看化簡之前還是化簡後?
CHT	回覆於: 2006/4/12 上午 09:46:22 如果視作2x+0y=0就是二元一次方程式
峰哥	回覆於: 2006/4/12 下午 07:58:31 所有方程式必須化到最簡式才可以命名，所以只能稱為一元一次方程式。上面回答不對，如果不懂，請別誤導觀念。
yani	回覆於: 2006/4/12 下午 10:13:52 為什麼要分類次幾元幾次方程式(或函數或不等式或其它關係式) 是為了歸納、討論方便 X=1是一元一次方程式，非m元n次(此處m,n≠1) 雖然x=1__(1)與x+0y=1__(2)同義，但就性質來說，兩者皆是一元一次的性質﹕一元一次方程式恰有一解，二元一次方程式有無限多解明顯地(1)(2)皆恰一解，把(2)歸類於二元一次是沒什麼意義的更何況x=1也可寫成 x+0y<sub>1</sub>+0y<sub>2</sub>+..+0y<sub>n</sub>=1 那豈不是二元、三元、…、n+1元一次皆可稱之了嗎﹖ 甚至1+2=3這個恒等式，也可看成多元一次方程式了 (但其解的本質卻不是的) 這又好比x=1為一元一次方程式，非一元二次方程式 (有兩根，可能重根)0xx+x=1 因為不同元或不同次的解集合本質，是不同的(圖形也不同) 另外，x=1在直角坐標x-y平面上，是直線方程式 [在一維為一點、在二維為一直線、在三維為一平面、在抽象的四維以上為超平面(或說空間)] 直線方程式包括﹕ 二元一次方程式(一次函數)、一元一次方程式(零次(常數)函數或零函數) 所舉x=1之例它是屬於一元一次方程式 (或說﹕當它對照於x-y平面時，它屬於x是y的零次函數)
yani	回覆於: 2006/4/12 下午 10:18:53 另外，k是常數，y=kx表y與x成正比﹔k是常數，xy=k表y與x成反比而，k,r是常數，y/x=k(或x/y=r)不表示y與x成正比﹔ 同理，k,r是常數，y=k/x(或x=r/y)不表示y與x成反比
yani	回覆於: 2006/4/12 下午 10:26:52 上上篇更正﹕零次函數≠常數函數應是零次函數及零函數統稱常數函數不管化簡前或化簡後，3(2x+4y)=4(x+3y)是一元一次方程式非二元一次方程式，因為它毫無二元一次方程式的性質﹗ 一元一次方程式﹕恰一解﹔二元一次方程式﹕無限多解一維圖形上﹕一元一次方程式﹕一點﹔二元一次方程式﹕無意義二維圖形上﹕一元一次方程式﹕水平直線﹔二元一次方程式﹕斜直線雖然兩者皆直線，但直線是有分﹕零函數、零次函數(即一元一次方程式) 、及一次函數(即二元一次方程式)的
yani	回覆於: 2006/4/12 下午 10:45:39 給七年級同學﹕ x=1是直線方程式，但直線方程式不一定是一元一次方程式在x-y的直角坐標平面中，直線方程式包括﹕ 二元一次方程式(一次函數﹕ax+by=c，a,b皆非0) 或一元一次方程式(常數函數﹕x=d或y=e) x=1是屬於後者的
yani	回覆於: 2006/4/12 下午 10:47:20 更正﹕為什麼要分類<b>成</b>幾元幾次方程式
yani	回覆於: 2006/4/12 下午 11:54:56 上上篇更正﹕ 但直線方程式不一定是<b>二</b>元一次方程式
54lkk	回覆於: 2006/4/13 上午 06:17:14 根據楊維哲,蔡聰明等教授所編高中數學第一冊內的定義 2x=0是二元一次方程式的一個特例所以你要說它是N元一次似乎皆可以
方程式	回覆於: 2006/4/13 上午 09:53:41 謝謝大家幫忙解答我的問題在: 1.)要以化簡之前的式子來判斷? 2.)或是化簡之後的式子來判斷?
chuchu	回覆於: 2006/4/13 上午 10:56:05 當觀念或定義有爭議時，回到教科書的定義才是正確態度，不要把問題複雜化提出自己的觀點時，正不正確是有待商榷的，也是可受公評的僅列出高中數學教科書的相關內容，供大家參考樓主的疑問，從底下內容就能尋得解答南一版數學第一冊第二章提到： 1. 平面上直線L的方程式有四種表現形式，不管哪一種形式經移項整理後一定可以化成二元一次方程式ax+by+c=0（此式叫一般式），其中a,b,c為已知數，且a與b至少有一個不為0（a^2+b^2≠0） 2.在數線上，一元一次方程式x=-3的圖形是一個點 3.在坐標平面上，二元一次方程式x=-3的圖形是一條直線康熙版第三冊數學第二章提到： 1. 型如ax+by+cz+d=0的方程式，其中x,y,z為未知數，當係數a,b,c不皆為0時，稱為三元一次方程式，例如：7y+2z-5=0，x=2皆是三元一次方程式 2. 在空間中，一個三元一次方程式的圖形都是一個平面所以x=2在空間中的圖形是一個平面
yani	回覆於: 2006/4/13 下午 03:54:17 簡單說自己看法(當然，不一定是對的) 如何分類﹕就分數而言，是依教科書就做學問而言，是依其性質與方便 (因為就算不分類，數學仍然是數學，只是研究起來不方便而已所以如果要分類，就要分其性質或方便討論為主，才有意義) 直線方程式可以是2元1次，也可以是1元1次我當x=1是1元1次的直線方程式又將x+1看成0xx+x+1，而把x+1當做1元2次多項式的話其實已無分類的意義了因為x+1毫無1元2次根集合或圖形(x,x+1)之性質個人贊成的是﹕化簡後再分類
★	回覆於: 2006/4/13 下午 04:14:05 數學是自然界的語言我倒是有個問題想問 x+0y+0z+0w+0v=1 請問這還是一條直線嗎? 若以空間圖形來思考
★	回覆於: 2006/4/13 下午 04:16:44 yani 回覆於: 2006/4/13 下午 03:54:17 個人贊成的是﹕化簡後再分類 ------------------------------- 我也贊成
yani	回覆於: 2006/4/13 下午 04:32:02 僅在實數討論﹕ x+0y+0z+0w+0v=1之解集合為(1,p,q,r,s)，其中p,q,r,s為任意實數它有五個分量(五維)，在空間中不具實體﹔至少不會是一直線此外，x+0y+0z=1(即x=1)在x-y-z坐標系中(空間坐標) 圖形為一平面
七年級倒楣鬼	回覆於: 2006/4/12 下午 08:25:35 是嗎? 那我問你 x=1算不算直線方程式? 當然是,而且是平行於y軸的直線. 到底誰觀念不清楚??哈哈
路人甲	回覆於: 2006/4/12 下午 08:35:05 七年級倒楣鬼你觀念好像錯了
七年級倒楣鬼	回覆於: 2006/4/12 下午 09:04:53 是嗎? 錯在哪裡? 難道 X=1 不能看作是二元一次方程式嗎? 難道它的圖解不是平行Y軸的直線嗎?
路	回覆於: 2006/4/12 下午 09:21:44 七年級倒楣鬼如果你的想法是對的,那x=0也可以寫成 x+0y=0 x+0y+0z=0 那該稱二元一次方程式還是三元一次方程式
七年級倒楣鬼	回覆於: 2006/4/12 下午 09:23:51 有何不可三維度坐標空間的直線
小六	回覆於: 2006/4/12 下午 09:25:39 基本上要看討論的空間定義為何如果是一維 X=1 是一個點(一元一次) 2維 X=1 是一條線(二元一次) 2維 X=1 是一個平面(三元一次)
★	回覆於: 2006/4/12 下午 09:26:14 所謂的幾元是看代數的個數吧幾次是看代數的最高次方項的次數啊
★	回覆於: 2006/4/12 下午 09:34:49 如果真如還要依空間來判斷幾元幾次那不就整個都亂了
七年級倒楣鬼	回覆於: 2006/4/12 下午 09:36:21 鬼當然有嘴請問坐標平面當中Y軸算不算直線? 算請問它的直線方程式是? 當然就是 X=0 說是 X+0Y=0 有何不可
路	回覆於: 2006/4/12 下午 09:39:18 ★...我認同你其實國二課本已有討論不懂的人要好好重修啦...
Superman	回覆於: 2006/4/12 下午 10:02:17 http://math2.math.nthu.edu.tw/summer00/01/30/4.htm
Superman	回覆於: 2006/4/12 下午 10:03:01 個人覺得上面小六的解釋比較對
七年級倒楣鬼	回覆於: 2006/4/12 下午 10:08:25 所以我說 X=1是直線方程式(二元一次),是對囉怎麼有人說我是鬼扯呢?
Mathplayer	回覆於: 2006/4/12 下午 10:09:57 如果問的是3(2x+4y)=4(x+3y) 那這時候的形式是二元一次方程式如果問的是化簡整理完後的2x=0 這時候的形式是一元一次方程式是以形式來區分,不是以化簡前後來區分
標準式	回覆於: 2006/4/12 下午 10:12:13 aX+bY=c(a^2+b^2=/=0)為二元一次方程式所以2X=0應該也算
路	回覆於: 2006/4/12 下午 10:13:34 請翻一下國二課本不要亂扯
藍	回覆於: 2006/4/26 下午 02:08:14 其實，七年級倒楣鬼的想法並不是來亂的吧查一下書以及教師手冊裡面提及，判斷幾元時，要先看化簡前有幾個未知數判斷幾次時，則是由化簡後的式子來判斷因為幾元，他若是二維，雖然最後化簡完式子看似一元（如x=2）但實際上他是二維的本質是不變的若換成圖形來看，他是在二維空間裡的，有x及y 也因此，書上會提到，這樣情況下的如：x=2，可稱為特例但並非所有一元一次方程式都是二元一次方程式的特例所以，七年級倒楣鬼提到的圖形想法，是有其道理的以上，是在中學部編版第二冊中提到的觀念^^
Mayson	回覆於: 2006/4/28 上午 01:35:05 煩請詳看yani的解釋,個人認為貫穿高中和國中課程,解釋的相當完整. 而藍所提的"教師手冊",須分別依化簡前合化簡後來判定幾元和幾次,請問:可否論證? 或是哪位數學大師所定義的? 可否提供編輯單位或教授姓名,以便到他的個人網站詢問. 奉勸七年級生,數學的說明或證明是依推理或正確論點來得到結論,請勿逞口舌之快!這樣對你的數學學習是有害的!
藍	回覆於: 2006/5/26 下午 11:11:57 抱歉，今天才看到版友的問題～我是查詢部編版的課本及教師手冊裡頭有提到那樣的判定方法～^^
欽仔	回覆於: 2006/5/27 上午 01:38:16 要算幾元應注意的是討論維度例如: 例如討論的是二維,那就是二元或未註明維度那就看題目一開始的未知數個數再來看化簡後的次數是幾次這樣就可以了小心:一特例,若化簡後變為 0=0 那就不稱為幾元幾次
欽仔	回覆於: 2006/5/27 上午 01:57:16 補充一下數學上在討論問題,本來就會先說明討論的維度若沒有說明,可從一開始的方程式的變數個數來判別 yani所說的有一些不同看法二維上,x=1其實是無限多組解的否則如何畫出直線,故x=1有二元一次方程式的所有性質
yani	回覆於: 2006/5/27 上午 08:11:05 然而，在一些場合中，我們卻不提幾維(幾個變數) 例如蠻常見的問法﹕判斷2x+y=3是幾元幾次方程式﹖ 命題(或定理、或題目)，應描述目前討論的是幾維(或幾個變數) 這在較高等的數學敘述中，都有完整的說出來但是在國中以下的數學，若寫的太完整，我想大部份的學生恐怕會更惶恐(註) 所以，在不混淆的情形下，省略了現在要討論的是幾維(幾個變數等字樣) 並且，若不寫出來，我個人認為是以"化成最簡式後，之最少維度" 註﹕在國小，我們不也說圓周率等於3(或3.14嗎﹖) 在國中不也說-1無平方(實)根嗎﹖ 也不是不談它們的真實性，只是時機未到(這個時機是大人決定的...) 但是在某些場合，有些老師認為該補充說明時會加上去如﹕圓周率不是有理數，3只是近似值﹔本題圓周率用π表示負數無平方<b>實</b>根平時因學齡而省略的方便法門，無可厚非但遇到該完整說明或補充的，還是得去做
yani	回覆於: 2006/5/27 上午 08:15:16 更正﹕(這個時機是大人決定的...) 改為(這個時機是大人決定的... 但是當學生想知道真實性、更高層次時，大人應把權利還給學生的) 而在公開的考試中，又應寫明才好(寧繁勿漏)
Xiao	回覆於: 2006/5/27 下午 01:05:43 如何判斷是否為二元一次方程式因為問問題的人沒有定義清楚所以我個人認為怎麼說就怎麼對也不必否認別人的說法因為一開始就沒定義好，所以會演變成以自己所學的程度去定義題目的意思，這樣討論下去反而變的沒義意了，在我看來因為沒定義清楚所以大家講的都對
我是來亂的：（	回覆於: 2006/5/27 下午 03:55:18 問一下 x=3 x+y=5 算不算是二元一次聯立方程式
我是來亂的：（	回覆於: 2006/5/27 下午 04:06:15 問一下 x=3 x+y=5 算不算是二元一次聯立方程式？ x=3 x+y=5 x+y+z=5 算不算是三元一次聯立方程式？ ax+by=5是不是二元一次方程式？ ax+by=5為一條平行x軸的直線，求a的值，試問a=? ax+by=5是不是二元一次方程式？
Xiao	回覆於: 2006/5/27 下午 10:43:12 還是沒有定義清楚啊! 如果不定義清楚範圍，通常怎麼說就怎麼對個人的任為，別在意
meathu	回覆於: 2006/5/28 下午 12:21:28 各位的討論極為精采,其實數學的定義極為重要,不是嗎? 所以同樣一個式子,依定義的不同便有不同的論點~~~ 我喜歡這樣的討論~~~
jeff	回覆於: 2017/12/14 下午 05:59:02 "我是來亂的"老師的提問很有意思，可能也是許多數學老師常遇到的疑惑。個人看法是：單一式子x=3，在國中階段定義為一元一次方程式，而像 x=3 x+y=5 二個方程式組合在一起時，則成立二元一次聯立方程式(或二元一次方程組)。
克勞棣	回覆於: 2018/12/21 下午 07:15:26 支持yani君的看法，不然3x+0xyzabc=3難道是六元六次方程式嗎？不僅幾元無法判定，連幾次也無法判定了。不過我並不認為國小會說圓周率"等於"3.14，應該是"取3.14為圓周率的概略值"，或白話一點，"圓周率大約是3.14"。可以不要教那麼難，但是不能教錯的。
benice	回覆於: 2018/12/22 上午 06:37:26 原始問題只提到方程式，所以只需考慮代數方面的定義，沒必要把幾何(方程圖形)牽扯進來。式子 3(2x + 4y) = 4(x + 3y) 有兩個變數 x 與 y，最高次項為一次，所以它是二元一次方程式。注意，式子 3(2x + 4y) = 4(x + 3y) 化到最簡通常寫成 x = 0，但其實我們是省略了 y，正確的寫法是【x = 0, y 為任意數】，所以並沒有化簡成一元方程式。
克勞棣	回覆於: 2018/12/22 上午 11:00:00 benice君：所以3(2x + 4y) + xyz = 4(x + 3y) + xyz是三元三次方程式嗎？
benice	回覆於: 2018/12/23 上午 07:52:59 回克勞棣： 3(2x + 4y) + xyz = 4(x + 3y) + xyz 等價於【x = 0，y 與 z 為任意數】，所以是三元一次方程式。
克勞棣	回覆於: 2018/12/23 下午 12:06:35 回benice君： 3個相同的變數相乘是三次項，例如xxx=x^3 3個不盡相同的變數相乘也是三次項，例如xxy=x^2y或xyz=xyz 應該是這樣的吧？因此依您的見解，3(2x + 4y) + xyz = 4(x + 3y) + xyz也應該是三元"三次"方程式，而不是三元一次方程式，您認為在下說得對不對呢？
benice	回覆於: 2018/12/23 下午 03:10:05 回克勞棣：等號前後的 xyz 互相消去，所以最高次項為一次，因此為一次方程式。雖然 xyz 項消去，但式子有幾個變數，方程式就定義出幾元的關係式，不能隨意增減，所以為三元方程式。二元關係： https://zh.wikipedia.org/zh-tw/二元关系 https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation 多元關係： https://en.wikipedia.org/wiki/Finitary_relation
benice	回覆於: 2018/12/23 下午 03:42:57 回克勞棣：方程式 3(2x + 4y) + xyz = 4(x + 3y) + xyz 的解集合是 {(x,y,z)∣x = 0，y,z 為實數} 或 {(0,y,z)∣y,z 為實數}，而非 {x∣x = 0} 或 {0}。
克勞棣	回覆於: 2018/12/23 下午 10:35:57 benice君：我覺得我們似乎是雞同鴨講了。我這樣說好了，撇開前面的發言都不談、當作沒說過、歸零，請問您認為xyz=1是三元幾次方程式？
benice	回覆於: 2018/12/24 上午 07:44:44 回克勞棣： 1. 我在 2018/12/23 下午 03:10:05 回覆文就回答你了，只是分開說明而已，先說明一次，再說明三元。 (那篇裡面列出的參考網頁與 2018/12/23 下午 03:42:57 回覆文是在強調『變數不能隨意增減』。) 2. xyz = 1 是三元三次方程式比較： x + xyz - xyz = 1 是三元一次方程式 (同類項合併，xyz 消去) 等價於 x = 1，y 與 z 為任意數 x + xxx - xxx = 1 是一元一次方程式 (同類項合併，xxx 消去) 等價於 x = 1
Lopez	回覆於: 2018/12/24 下午 01:22:16 xyz = 1 是三元三次方程式分析: xyz = 1 xyz - 1 = 0 等式的左邊是3變數的多項式. 式中有3個變數,因此稱為"三元" , 第1項 = xyz , 次數 = 1+1+1 = 3 第2項 = - 1 , 次數 = 0 整體的次數採最高次 = max { 3 , 0 } = 3 故為三次方程式,因此: xyz = 1 是三元三次方程式關於"次數"的定義,維基百科中有定義(一般的課本定義也相同). 例如,維基百科中的其中一例: XY³ + 2X + 5 - 0.3c 是三元四次四項式
Lopez	回覆於: 2018/12/24 下午 01:32:31 抱歉,漏打了一些關鍵字: 關於"次數"的定義,維基百科中有定義: 請在維基百科的頁面查詢"多項式"