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\|─	如何區別互斥跟獨立


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作者	標題: 如何區別互斥跟獨立
husau	發表於: 2006/1/13 下午 08:05:21 如題,過了很久我還是不懂? 請幫忙~謝謝~
meathu	回覆於: 2006/1/13 下午 08:42:19 簡單而言互斥就是互相排斥. 也就是說, A,B為互斥事件, A發生,B一定不發生. B發生,A一定不發生. 互斥事件的定義~若A∩B=空集合,則稱A,B為互斥事件互斥事件公式~~若A,B為互斥事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B) 獨立事件~~~ 第一種定義~~ 設A,B為樣本空間S中的二事件若P(A∩B)=P(A)P(B),則稱A,B為獨立事件若P(A∩B)≠P(A)P(B),則稱A,B為相關事件第二種定義~~ 設A,B為樣本空間S中的二事件,P(A)≠0 若P(B/A)=P(B),則稱A,B為獨立事件若P(B/A)≠P(B),則稱A,B為相關事件
qeypour	回覆於: 2006/1/13 下午 08:52:23 To meathu (1)有沒有互斥且獨立的事件? 有的話請舉一例,沒有的話請予以證明 (2)有沒有互斥且不獨立的事件? 有的話請舉一例,沒有的話請予以證明 (3)有沒有不互斥且獨立的事件? 有的話請舉一例,沒有的話請予以證明 (4)有沒有不互斥且不獨立的事件? 有的話請舉一例,沒有的話請予以證明
chuchu	回覆於: 2006/1/13 下午 09:28:03 (1)互斥且獨立..討論 A,B互斥，則P(A∩B)=0 若A,B都不是空集合，則P(A)P(B)≠0=P(A∩B)，A,B不獨立若A,B至少一個是空集合，P(A)P(B)=0=P(A∩B)，A,B獨立 (2)互斥且不獨立令樣本空間S={1,2,3,4} 事件A={1,2},B={3,4}，則A∩B=空集合，A,B互斥 P(A∩B)=0，但P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=1/4≠P(A∩B)，A,B不獨立 (3)不互斥且獨立 S={1,2,3,4} A={1,2},B={2,3}，則A∩B={2}，A,B不互斥 P(A∩B)=1/4，且P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=1/4=P(A∩B)，A,B獨立 (4)不互斥且不獨立 S={1,2,3,4} A={1,2,3},B={3,4}，則A∩B={3}，A,B不互斥 P(A∩B)=1/4，且P(A)P(B)=(3/4)(1/2)=3/8≠P(A∩B)，A,B不獨立
qeypour	回覆於: 2006/1/13 下午 09:55:18 謝謝chuchu~~~~~~~~ 可見獨立與否無關互斥與否不錯喔~~~~~~~~~~~~~~~
husau	回覆於: 2006/1/13 下午 11:25:16 能不能再舉些生活上的實例: 如:生男生女;擲骰子..... 謝謝~
福別問	回覆於: 2014/5/30 上午 10:56:40 回覆husau及Ya Tin chuchu的回答已經很完整了，您可以就chuchu同學給的數值，自己想自己較喜歡的具體例子，下面是我舉的例子。先定義一下 A, B互斥 <=> A∩B = 空集合 A, B獨立 <=> P(A)P(B) = P(A∩B) ------------------------------------------------ (1)互斥且獨立投擲一骰子（共六面），令A表示出現點數為７的事件，令B表示出現點數為６的事件，則A∩B = 空集合，所以A, B互斥且P(A∩B)=0，又P(A)=0，所以P(A)P(B) = 0 = P(A∩B)，所以A, B獨立。這例子有點奇怪，我們怎麼會去討論出現點數為７的事件呢？這是無可避免的，因為A, B要互斥，所以必定會有P(A∩B) = 0，而為了要有A, B獨立，也就是要有P(A)P(B) = P(A∩B) = 0，那P(A), P(B)中至少要有一個為0，所以就必須舉這個不可能發生的事件A。 ------------------------------------------------ (2)互斥且不獨立投擲一骰子（共六面），令A表示出現點數為偶數的事件，令B表示出現點數為奇數的事件，則A∩B = 空集合，所以A, B互斥且P(A∩B)=0，又P(A)=P(B)=1/2，所以P(A)P(B) = 1/4 ≠ 0 = P(A∩B)，所以A, B不獨立。 ------------------------------------------------ (3)不互斥且獨立有一母親先後生兩個小孩，令A表示第一胎為男孩的事件，令B表示兩胎孩子性別不同的事件，則A∩B = 兩個小孩為兄妹，所以A, B不互斥且P(A∩B)=1/4，而P(A)=P(B)=1/2, P(A)P(B)=1/4=P(A∩B)，所以A, B獨立。 ------------------------------------------------ (4)不互斥且不獨立有一母親先後生兩個小孩，令A表示第一胎為男孩的事件，令B表示兩個小孩不是姐妹的事件，（兩個小孩不是姐妹的意思是，可以是兄妹，姐弟，兄弟，跟隔壁老王沒有關係）則A∩B = A，所以A, B不互斥且P(A∩B)=1/2，而P(A)=1/2, P(B)=3/4, P(A)P(B)=3/8≠1/2=P(A∩B)，所以A, B不獨立。 ------------------------------------------------ 如果你想要有一個具體的例子，來讓你感受到"獨立事件"所謂的"獨立"，那我就幫不上你了，因為我們對於"獨立事件"所謂的"獨立"，就是用數學上的定義而來的，不總是能夠從字面上直觀地感受到"獨立"的感覺。（互斥的判斷是簡單的）我們通常就是記獨立的數學定義， A, B獨立 <=> P(A)*P(B) = P(A∩B) 這從數學推理上是容易理解的，因為獨立的最原始定義是：A, B獨立 <=> P(B｜A)=P(B)，而P(B｜A)=P(B)這個式子就刻畫了獨立的意涵。而在遇到實際例子時，就是去算P(A), P(B), P(A∩B)，然後看看滿不滿足獨立的定義。
真	回覆於: 2019/1/25 下午 10:00:51 厲害！