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\|─	[請教]證指數函數與對數函數對稱於X=Y直線~


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作者	標題: [請教]證指數函數與對數函數對稱於X=Y直線~
Dodoku	發表於: 2002/3/25 下午 08:49:36 as title thx^^
math	回覆於: 2002/3/25 下午 09:31:50 可用參數式，也可以說x用y代，y用x代會變成令一方程式
邦	回覆於: 2002/3/25 下午 10:29:20 不知道是哪ㄍ老師.........只會洩題...... 至明明是明天會考ㄉ.........@@"
邦	回覆於: 2002/3/25 下午 10:30:05 反正就是反函數阿.....
yani	回覆於: 2002/3/26 上午 02:11:21 若a>0,a<>1且X>0[這樣的規定才能確保指數，對數是函數] [由於指數函數的底數在下標位置電腦中打不出來，故下標a用小寫﹔X,Y用大寫] 若a^X=Y之圖形為(X,Y) 但另外(Y,X)之圖形為a^Y=X--->相當於logaX=Y。[在此a是下標即a為底數] 也是說﹔例如﹕y=2^x通過(-1,1/2),(0,1),(1,2),(2,4),(t,2^t)... 則y=log_2(x)[其中2是下標即2為底數],必通過(1/2,-1),(1,0),(2,1),(4,2), (2^t,t)... 以指對數為例，f(x,y)的反函數=f(y,x);也就是將x,y的值對調(事實上，對單變數函數而言，反函數的定義就是這樣﹗)。這就是為何兩反函數圖形對稱於Y=X的由來。若再不懂，則將點A(s,t)與B(t,s)之中點求出來得中點為((s+t)/2,(t+s)/2) 易知中點在直線:Y=X上且線段AB垂直於直線Y=X(請試證之) 若A(s,t)是Y=a^X的圖形,則(t,s)是Y=logaX的圖形﹔兩圖形是﹕以直線Y=X為對稱的﹗
yani	回覆於: 2002/3/26 上午 02:31:21 以y=2^x與y=log_2(x)為例[其中2是下標是底數] y=2^x圖形Γ(x,y)通過﹕ x:...-3，-2，-1，0，1/2,1,2,3,t... y:...1/8,1/4,1/2,1,√2,2,4,8,2^t... y=log_2(x)圖形Ω(x,y)通過﹕ x:...1/8,1/4,1/2,1,√2,2,4,8,2^t... y:...-3，-2，-1，0，1/2,1,2,3,t... Γ中的任每一點(a,b)恰=Ω中的唯一對應點(b,a)，且這兩點(這一組點)﹕是對稱於直線Y=X的。[即以Y=X為中垂線]
yani	回覆於: 2002/3/26 上午 03:17:46 總之在Y=a^X之圖形(t,a^t)，與Y=logaX之圖形(a^t,t)[a是下標為底數,a>0,a≠ 1,x>0]中點A(t,a^t)與點B(a^t,t)的中點為((t+a^t)/2,(a^t+t)/2),是在直線Y=X上，且線段AB與直線Y=X垂直[AB的斜率=(a^t-t)/(t-a^t)=-1;直線Y=X的斜率=1﹔因斜率相乘=-1故垂直] 故A,B對稱於Y=X;由於t在所有的定義域中皆成立(-∞＜t＜∞，t是實數);故我們說 Y=a^X與Y=logaX對稱於直線Y=X。