作者 |
標題: 母子相似十性質 |
yani |
發表於: 2002/1/10 上午 12:11:49
主題﹕母子相似十性質 以⊿表直角三角形,若⊿BAC中AD垂直BC於D試證﹕ 1.∠B=∠CAD,∠C=∠BAD 2.△DBA∼△DAC∼△ABC 3.AB²=BD*BC 4.AC²=CD*BC 5.AD²=BD*CD 6.BC²=AB²+AC²,AB²=AD²+BD²,AC²=AD²+CD² 7.AB*AC=BC*AD 8.1/AD^2=1/AB^2+1/AC^2 9.10.後續(sorry) 1~~2﹕母子相似,3~~5﹕三比例中項性質(以上一般參考書都有列),6,7(面積與商 高,屬old),8﹕倒數平方和性質。
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飄 |
回覆於: 2002/1/10 上午 12:27:08
第6點可綜合得出商高定理
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yani |
回覆於: 2002/1/10 上午 12:44:44
謝謝,其實對於該進度學生而言,只有第1~5及第8點是新的,另第8點是我硬加上去的。 一般參考書上只列第1~~5點,第8點其實可用第6點(之母三角形商高定理)求出BC,再用第7 點(面積相等性質)求出AD,不會比代第8點公式慢,難怪一般參考書不列第8點公式。
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yani |
回覆於: 2002/1/10 上午 03:53:21
更正﹕ 主題﹕母子相似十性質 以⊿表直角三角形,若⊿BAC中AD垂直BC於D試證﹕....中 以上漏打﹕角A為直角。 sorry.
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T-boy |
回覆於: 2002/1/10 上午 11:23:22
yani是有心人,欽佩!
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麵包超人 |
回覆於: 2002/1/10 下午 02:03:55
yani :恭喜你的努力穫得大家的肯定
海龍公式要如何證明ㄋ,對於古代又有什麼貢獻ㄋ
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傻仔大晒 |
回覆於: 2002/1/10 下午 02:26:44
麵包超人: 已知條件:餘弦,正弦定律 (sinA)^2/a^2 =(1-cos^2A)/a^2 =(1/4a^2b^2c^2){2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)} 因為上式最後一步為a,b,c的對稱式,所以
sin^2B/b^2=sin^2C/c^2=sin^2A/a^2
而sinA/a, sinB/b, sinC/c 都是恆正的,所以由上兩式可以推論 sinA/a=sinB/b=sinC/c={2(sigma)a^2b^2-(sigma)a^4}^(1/2)/2abc
再和正弦定律比較,又得: 16三角形面積^2=2(sigma)a^2b^2-(sigma)a^4
因上式右邊可以因式分解為(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 亦即:16三角形面積^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 將上式移項,開方,即得海龍公式
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麵包超人 |
回覆於: 2002/1/10 下午 02:34:18
原來如此
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yani |
回覆於: 2002/1/10 下午 10:12:55
9.AB²﹕AC²=BD﹕CD 10.AB²-BD²=AC²-CD²
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yani |
回覆於: 2002/1/11 下午 06:21:46
主題﹕母子相似十性質 若直角△BAC,∠A=90度中,AD垂直BC於D試證﹕ 1.∠B=∠CAD,∠C=∠BAD, 2.△DBA∼△DAC∼△ABC,1~~2﹕母子相似 3.AB²=BD*BC,4.AC²=CD*BC,5.AD²=BD*CD ,3~~5﹕三比例中項性質,以上一般參考書都有 6.BC²=AB²+AC²,7.AB²=AD²+BD²,AC²=AD²+CD² ,6.7.大小△商高定理 8.AB*AC=BC*AD,9.AB²﹕AC²=BD﹕CD ,8.9.大小△面積性質 10.1/AD²=1/AB²+1/AC² ,倒數平方和性質 其實對該進度學生而言,只有1.~5.,9.10是新的,而一般書籍通常介紹1~5點或加上第9 點,至於第10點可用6.8.點求出AD,不會比代第10點公式慢。 ________________________________ 之所以列那麼多點,主要是為了說明﹕母子相似的題目中只要知道任兩線段,便可求出另4 個線段,而求法呢﹖利用上面3~10部分公式即可。 在母子相似的圖形中,分﹕AB,BD,AD,CD,AC,BC=BD+CD六個線段, 若已知﹕AB,BD,則可用3.4.5.求出另外4個線段(當然也可以用別的公式來做) 若已知﹕AB,AD,則用﹕7.3.4或7.3.6.或… 若己知﹕AB,AC則用﹕6.3.4.8或10.7.或… 若已知﹕AB,CD則令BD=x,解方程式﹕x(x+CD)=AB,然後再用﹕6.8.或… 若已知﹕AD,BD則用﹕7.3.6或…。若已知﹕BD,CD則用﹕5.4.3或9.6.5或… 若已知﹕BD,BC則用﹕3.7.或先求出CD或… 以上求法並不唯一,你可自由選擇並比較先算那一線段會比較好。 若已知某兩線段而只要求某一未知線段,則可挑選適當公式來算。 例﹕AB=3,AC=4求AD,BD,CD。例﹕AB=5,BD=3求AD,CD,AC 例﹕AC=12,BC=13求其餘線段。例﹕AB=6,CD=32/5求其餘線段 例﹕BD=9,CD=16求其餘線段。 有興趣的國三生可試試看。
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yani |
回覆於: 2002/1/11 下午 10:05:58
有關海龍公式的另一證明,請參考△面積公式略整篇。
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grtggwgw4 |
回覆於: 2024/7/28 上午 01:24:36
您問的問題真有意思!
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grtggwgw4 |
回覆於: 2024/7/28 上午 01:26:03
我好像不會耶!
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