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\|─	母子相似十性質


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作者	標題: 母子相似十性質
yani	發表於: 2002/1/10 上午 12:11:49 主題﹕母子相似十性質以⊿表直角三角形，若⊿BAC中AD垂直BC於D試證﹕ 1.∠B=∠CAD,∠C=∠BAD 2.△DBA～△DAC～△ABC 3.AB²=BDBC 4.AC²=CDBC 5.AD²=BDCD 6.BC²=AB²+AC²，AB²=AD²+BD²，AC²=AD²+CD² 7.ABAC=BC*AD 8.1/AD^2=1/AB^2+1/AC^2 9.10.後續(sorry) 1~~2﹕母子相似，3~~5﹕三比例中項性質(以上一般參考書都有列)，6,7（面積與商高，屬old），8﹕倒數平方和性質。
飄	回覆於: 2002/1/10 上午 12:27:08 第6點可綜合得出商高定理
yani	回覆於: 2002/1/10 上午 12:44:44 謝謝，其實對於該進度學生而言，只有第1~5及第8點是新的，另第8點是我硬加上去的。一般參考書上只列第1~~5點，第8點其實可用第6點(之母三角形商高定理)求出BC，再用第7 點(面積相等性質)求出AD，不會比代第8點公式慢，難怪一般參考書不列第8點公式。
yani	回覆於: 2002/1/10 上午 03:53:21 更正﹕ 主題﹕母子相似十性質以⊿表直角三角形，若⊿BAC中AD垂直BC於D試證﹕....中以上漏打﹕角A為直角。 sorry.
T-boy	回覆於: 2002/1/10 上午 11:23:22 yani是有心人，欽佩!
麵包超人	回覆於: 2002/1/10 下午 02:03:55 yani ：恭喜你的努力穫得大家的肯定海龍公式要如何證明ㄋ，對於古代又有什麼貢獻ㄋ
傻仔大晒	回覆於: 2002/1/10 下午 02:26:44 麵包超人：已知條件：餘弦，正弦定律 (sinA)^2/a^2 =(1-cos^2A)/a^2 =(1/4a^2b^2c^2){2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)} 因為上式最後一步為a,b,c的對稱式，所以 sin^2B/b^2=sin^2C/c^2=sin^2A/a^2 而sinA/a, sinB/b, sinC/c 都是恆正的，所以由上兩式可以推論 sinA/a=sinB/b=sinC/c={2(sigma)a^2b^2-(sigma)a^4}^(1/2)/2abc 再和正弦定律比較，又得： 16三角形面積^2=2(sigma)a^2b^2-(sigma)a^4 因上式右邊可以因式分解為(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 亦即：16三角形面積^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 將上式移項，開方，即得海龍公式
麵包超人	回覆於: 2002/1/10 下午 02:34:18 原來如此
yani	回覆於: 2002/1/10 下午 10:12:55 9.AB²﹕AC²=BD﹕CD 10.AB²-BD²=AC²-CD²
yani	回覆於: 2002/1/11 下午 06:21:46 主題﹕母子相似十性質若直角△BAC，∠A=90度中，AD垂直BC於D試證﹕ 1.∠B=∠CAD,∠C=∠BAD， 2.△DBA～△DAC～△ABC，1~~2﹕母子相似 3.AB²=BDBC，4.AC²=CDBC，5.AD²=BDCD ，3~~5﹕三比例中項性質,以上一般參考書都有 6.BC²=AB²+AC²，7.AB²=AD²+BD²，AC²=AD²+CD² ，6.7.大小△商高定理 8.ABAC=BC*AD，9.AB²﹕AC²=BD﹕CD ，8.9.大小△面積性質 10.1/AD²=1/AB²+1/AC² ，倒數平方和性質其實對該進度學生而言，只有1.~5.，9.10是新的，而一般書籍通常介紹1~5點或加上第9 點，至於第10點可用6.8.點求出AD，不會比代第10點公式慢。 ________________________________ 之所以列那麼多點，主要是為了說明﹕母子相似的題目中只要知道任兩線段，便可求出另4 個線段，而求法呢﹖利用上面3~10部分公式即可。在母子相似的圖形中，分﹕AB,BD,AD,CD,AC,BC=BD+CD六個線段，若已知﹕AB,BD,則可用3.4.5.求出另外4個線段(當然也可以用別的公式來做) 若已知﹕AB,AD,則用﹕7.3.4或7.3.6.或… 若己知﹕AB,AC則用﹕6.3.4.8或10.7.或… 若已知﹕AB,CD則令BD=x,解方程式﹕x(x+CD)=AB，然後再用﹕6.8.或… 若已知﹕AD,BD則用﹕7.3.6或…。若已知﹕BD,CD則用﹕5.4.3或9.6.5或… 若已知﹕BD,BC則用﹕3.7.或先求出CD或… 以上求法並不唯一，你可自由選擇並比較先算那一線段會比較好。若已知某兩線段而只要求某一未知線段，則可挑選適當公式來算。例﹕AB=3,AC=4求AD,BD,CD。例﹕AB=5,BD=3求AD,CD,AC 例﹕AC=12,BC=13求其餘線段。例﹕AB=6,CD=32/5求其餘線段例﹕BD=9,CD=16求其餘線段。有興趣的國三生可試試看。
yani	回覆於: 2002/1/11 下午 10:05:58 有關海龍公式的另一證明，請參考△面積公式略整篇。
grtggwgw4	回覆於: 2024/7/28 上午 01:24:36 您問的問題真有意思!
grtggwgw4	回覆於: 2024/7/28 上午 01:26:03 我好像不會耶!