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以下所討論的數皆整數，p為質數。
主題﹕a^x≡1(n)
若a與n不互質,則a^x=1(n)無解，理由﹕a^x-kn為d的倍數≠1。
故僅討論a,n互質時。
令a屬於Un，Un表示小於n且於n互質之正整數，φ(n)表示Un的個
數。例﹕U2={1},U3={1,2},U4={1,3},U5={1,2,3,4},U6=
{1,5},U8={1,3,5,7},U9={1,2,4,5,7,8},U12=
{1,5,7,11},U15={1,2,4,7,8,11,13,14},U21=
{1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20},U30=
{1,7,11,13,17,19,23,29}。Up={1,2,3,…p-1},p是質數。
φ(2)=1,φ(3)=2,φ(4)=2,φ(5)=4,φ(6)=2,φ(8)=4,φ(9)
=6,φ(12)=4,φ(15)=8,φ(21)=12,φ(30)=8,φ(p)=p-1。
定理1﹕a^φ(n)≡1(n)。推理1﹕若(a,p)=1則a^φ(p)≡a^(p-
1)≡1(n)。推理2﹕對所有的b，b^p≡b(p)﹕此證明牽扯到群
論，略。
命題2:若n≧3時，φ(n)為偶數﹕因若a屬於Un則n-a亦屬於Un
定理3﹕若Un={a,b,c,d,…,t},則(abcd…t)^2≡1(n)
定理4﹕a^2≡1(p)之解為a≡1(p)或-1(p)
定理5﹕若p為4m+1型，則a^2≡-1(p)之解為a≡[(p-1)/2]!
(p)。
定理6﹕若p為4m+3型，則a^2≡-1(p)無解。可由定理1之推理1證
明之。
定理7﹕(p-1)!≡-1(p)。推理﹕(p-2)!≡1(p)﹕by Wilson，
有不只一種證明，在此亦可用定理3,4證明之。
命題8﹕若m,n有相同的質因數，則φ(m)/φ(n)=m/n
定理9﹕對所有的m∣n，φ(n)=Σφ(m)
定理10﹕a>1, n∣φ(a^n-1)。證明﹕考慮mod(a^n-1)
命題2,8是自己想的，怕有錯，故稱之為命題。餘皆已被證實的定
理或推理。
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