萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716)

20世紀知名英國思想家伯特蘭．羅素（Bertrand Russell)讚譽萊布尼茲是「千古絕倫大智者」。

萊布尼茲雖然投身政治圈，卻喜歡研究數學，對於哲學、法律、歷史、地質、邏輯、力學、光學、政治也都有重要貢獻。在他的協助下成立了德國科學院和柏林科學院。

1646年生於德國的薩克森州萊比錫 (Leipzig)，父親是萊比錫大學的倫理學教授，在萊布尼茨6歲時去世，留給萊布尼茲一座私人圖書館。1661年，15歲進入萊比錫大學就讀，主修哲學和數學，1663年取得學士學位。1666年，20歲的萊布尼茲出版一本哲學著作《論組合的藝術》(De Arte Combinatoria)。1667年21歲在紐倫堡(Nuremberg) 的阿爾特多夫(Altdorf) 大學得到哲學博士學位，論文〈De Casibus perplexis in Jure〉（論法學中的難題）採用數學的思考方式來分析法律和哲學之間的關係。

1672~1676年以外交官身份派駐法國巴黎，剛到巴黎就認識荷蘭物理學家、數學家惠更斯(Christiaan Huygens)，惠更斯送他一本剛出版的關於單擺的著作，在惠更斯指導下開始研讀高等幾何學。惠更斯建議萊布尼茲閱讀比利時數學家聖文森特(Saint-Vincent))關於級數求和的著作，並有了一些自己的發現。惠更斯也給他帕斯卡(Pascal) 的著作，從中學到了無窮小論證法、不可分割法以及重心的求法，啟發他研究微積分。這期間，萊布尼茲發現離散有限的差和分，並以此為基礎發展了連續無窮多個無窮小的積分。

1673年萊布尼茲訪問英國皇家學會並展示他所設計的但未完成的計算器，帕斯卡發明的第一部齒輪計算器只能做加減法運算，但是萊布尼茲的計算器可以做四則運算。萊布尼茲的計算器引起了巴黎科學院和倫敦皇家學會極大的興趣，為此，萊布尼茲被選為巴黎科學院院士和倫敦皇家學會會員，他所製成的計算器樣品送到倫敦展出。這一年他開始認真研究微積分，並引入一些微積分符號。1675年在他的一份手稿首次出現積分符號 $\int f dx$。

萊布尼茲發展二進位算術系統，系統中只有0或1，現代積體電路中的邏輯匣就是二進位設計。萊布尼茲分別於1701年和1703年發表論文《數字科學新論》(Essay d'unne nouvelle Science des Nombres)和《論只使用符號0和1的二進位算術，兼論其用途及它賦予伏羲所使用的古老圖形的意義》（Explication de l'arithmétique binaire)，說明 0、1二進位運算的用途，認為「二進位乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言」。

1676年萊布尼茲回到德國，於漢諾威(Hanover)擔任地方政府的顧問和圖書館館長，長達四十年之久。雖然萊布尼茲是律師與外交官，但是他對於哲學、法律、歷史、地質、邏輯、力學、光學的學問都有濃厚的興趣。由於他的奔走鼓吹，並獲得腓特烈一世的支持，柏林科學院於1700年成立，首任院長就是萊布尼茲。

1684年萊布尼茲在雜誌《Acta Eruditorum》發表〈求極大小值及切線的新方法〉，這是關於微分學的第一篇論文，也是數學史上第一本公開發表的微積分學著作。在這篇文章中，他引進了微分式，給了微分式的四則運算公式，並說明求極值的條件是 dv=0，求反曲點的條件是 ddv=0。
微分式的四則運算：
d(u±v)=du±dv
d(uv)=v du+u dv
d($\frac{u}{v}$)=$\large\frac{v du-u dv}{v^2}$
1686年在雜誌《Acta Eruditorum》發表〈論一深度隱藏的幾何學及無窮小與無窮大的分析〉，積分符號 $\int$ 正式踏進數學史。
1693年在雜誌《Acta Eruditorum》發表微積分基本定理，從曲線的切線性質進行求積的問題。

萊布尼茲在與牛頓激烈爭辯誰是微積分創始人之後，萊布尼茲被世人冷落，晚景淒涼。雖然萊布尼茲是英國皇家學會和柏林科學院的終身會員，1716年他逝世後這兩所學會都沒有舉辦追悼儀式。萊布尼茲的葬禮在德國的漢諾威舉行，和他淵源很深的英國國王喬治一世也選擇了不去參加，竟然只有萊布尼茲的秘書一個人送葬。在下葬後的半世紀裡竟然沒有人為其立碑。一直到1765年，萊布尼茲的手稿被整理陸續出版，被扭曲半個世紀的真相大白，原來萊布尼茲的成就不亞於牛頓，微積分也是兩個人各自發展並無相互抄襲。1985年，德國政府設立了萊布尼茲獎，獎金高達250萬歐元，遠遠超諾貝爾獎，2012年頒發基礎物理學突破獎之前是世上獎金最高的科學成就獎。

關於微積分的研究，萊布尼茲和牛頓的共同點：
(1) 提供代數的方法，不讓幾何的方法專美於前。
(2) 創造微積分成為新的計算方法。
(3) 以微積分解決了變率、切線、極值和求面積的方法。

關於微積分的研究，萊布尼茲和牛頓的差異：
(1) 萊布尼茲著重無限小微分 dx，牛頓以不嚴謹的幾何直觀利用$\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$來求函數切線。關於無窮小量趨近於0的問題，萊布尼茲和牛頓都無法嚴謹證明，這引發數學第二次危機，直到1850年代，德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯(Wilhelm Weierstrass) 以ε-δ語言嚴格定義極限。
(2) 萊布尼茲研究微分是想了解曲線的切線，作為純數學的應用，他的微積分符號仍然沿用至今。牛頓研究微分是為了解決物理力學上問題，他的微積分符號目前已經不再通用了。

1850年德國漢諾威出版了萊布尼茲書信全集，有一封1683年萊布尼茲寫給羅必達(L'Hôpital)的私人信件，發現萊布尼茲早已經發展了三階行列式的計算規則，用來解三元一次聯立方程式，這個計算規則後來稱為克拉瑪公式。

參考資料：數學發展史王懷權著協進圖書公司出版