高斯  (GARL.F.GAUSS  1777-1855)

高斯的研究涵蓋數論、代數、函數論、微分幾何、機率論、天文學、力學、測地學、水工學、電工學、磁學、光學。他和阿基米得牛頓被世人公認史上最傑出的三位數學家。

有一個故事是說在他3歲時,水泥匠父親每星期六要發薪水給助手,有次他跟著父親計算給工人的薪水,他竟能糾正父親的錯誤。

10歲時,小學老師布特納(Buttner)給一道計算題:「 1+2+3….+100=?」。布特納認為算術初學者不容易很快計算完,高斯卻很快完成並可以解釋解題方法,其作法如下︰
1 + 2 +3+..........+98+99+100 ..... (1)
100+99+98+.........+3+ 2+1 ..... (2)
(1)+(2) 得 101+101+101+.......+101+101+101=101×100=10100
所以1+2 +3+......+98+99+100 =10100÷2=5050

布特納總是自認懷才不遇,發現高斯的天分,他很高興遇見天才卻覺得自己懂的不多,不能對高斯有什麼幫助。後來,布特納漢堡郵購一本高等算術讓高斯研讀,並讓他和十八歲的助教巴陀(Martin Bartels)往來討論,高斯很高興和比他年長的老師助手一起學習這本書。

經過巴陀(Martin Bartels)的推薦,高斯認識卡洛林學院教授勤模曼(Zimmermann),經由勤模曼的引薦得以晉見費迪南公爵。費迪南公爵經援高斯提供他繼續深造高等教育。

15歲開始研究高等數學,研究質數分佈,這引導他涉入高等數論的領域,同時也開啟他思考歐幾里得的基本問題,尤其是平行公理,這影響到後來的非歐幾何學。他並專心閱讀牛頓尤拉拉格朗日的著作。牛頓的微積分理論深深吸引他。

18歲,高斯解決了二千多年來的幾何難題,使用直尺和圓規作圖圓內接正 17 邊形從此他下定決心研究數學。 據傳他曾表示要在墓碑上要刻上一個正十七邊形,紀念改變一生的數學發現。

19歲他到哥庭根 ( Gottingen )讀大學,哥庭根是一個學術風氣很濃厚的城市,這裡豐富的數學藏書深深吸引高斯
高斯在數論的研究,發現數字間的關係和定理,並加以嚴謹證明。22歲他完成博士論文,證明『代數基本定理』:「任何一元代數方程式都有解」,證明過程中一直避免使用複數,因為當時數學家仍為複數爭議不休。後來,他陸續找出三個證明方法,最後一個證明是在他慶祝獲得博士學位五十週年時發表,這時他已經可以公開運用複數,因為這時大家已經接受複數。

19歲~25歲期間研究數論的豐碩結果大都收集在《Disquisitiones Arithmeticae 》(算學講話,或算數研究)一書中,於1801 年出版。這本書以拉丁文寫的,原來有八章,由於資金不夠,只印了其中七章,這書可以說是第一本有系統研究數論的著作,使數論成為數學中重要的一支,書中高斯首先介紹同餘這個概念。算學講話分成七章,包括一般同餘、一次同餘、冪剩餘、二次同餘、二次型式、應用、分圓。

高斯曾說過:「數學是科學的皇后,而數論是數學的女王」,那時代的人因此稱高斯是「數學王子」。

歐氏幾何的第五公設問題直到高斯,才取得突破,高斯自15歲時就想解決這個困擾數學界近兩千年的難題。他親自實地測量,討論我們的空間是否存在有非歐幾何性質的可能性,提出新的幾何觀念解決第五公設難題。到1813年,37歲的高斯發展一套關新幾何觀點,他稱之為「反歐幾里得幾何」後來又改稱「非歐幾里得幾何」。

1831年54歲的高斯給複數的一個幾何意義的解釋,奠立複數在數學的地位。

在物理學領域,高斯提出透鏡及毛細作用理論,和 Wilhelm Weber 共同研究電磁學,電學以高斯作為單位名。 製作反光器,雙線磁力計及發報機。

高斯通常給人的印象總是冷冷的,這可能是他幾乎沒人能分享想法和討論有關。可是離群索居的生活,卻換來不受打擾的研究環境。高斯因心臟病在睡夢中平靜逝世,享年七十七歲。

目前教科書見過的數學符號[x],我麼稱之為高斯符號,首次出現在高斯於1801出版的《算術研究》,它是一本數論教材。高斯符號[x]表示小於等於x的最大整數。
教科書常用高斯消去法來解聯立方程式。
高斯將複數a+bi與平面上一點(a,b)一一對應,這平面稱為複數平面或高斯平面,橫軸點是實數,縱軸點是純虛數。
高斯將歐幾里得的算術基本定理:「每一個大於1的自然數,都可以唯一寫為質因數的乘積」,也就是標準分解式,推廣至複數系。

※ 高斯圖像 https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss/pictdisplay/

 


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