高斯

高斯 (GARL.F.GAUSS 1777-1855)

高斯的研究涵蓋數論、代數、函數論、微分幾何、機率論、天文學、力學、測地學、水工學、電工學、磁學、光學，發表了大約500篇研究論文。他和阿基米德、牛頓被公認是史上最偉大的三位數學家。高斯認為「數學是科學的皇后，而數論是數學的皇后」，而高斯也有數學王子的美譽。

高斯生於 1777年現今德國的下薩克森邦布藍茲維市的一個清寒家庭，父母沒有受過學校教育，舅舅約翰·弗瑞德里希（Johann Friedrich）是藝術家，他發現高斯天賦異稟，不時盡自己所能教導高斯。相傳3歲的高斯在水泥匠父親發錯工資給助手時就能即時糾正錯誤。

高斯10歲時的小學老師布特納(Buttner)出了一道計算題：「 1＋2＋3….＋100=？」。布特納原以為初學者不容易，但是高斯竟然很快完成。他的方法如下︰
1 + 2 +3+..........+98+99+100 ..... (1)
100+99+98+.........+3+ 2+1 ..... (2)
(1)+(2) 得 101+101+101+.......+101+101+101＝101×100＝10100
所以1+2 +3+......+98+99+100 =10100÷2＝5050 ，布特納很高興能遇見天才但是自認所知有限無法給高斯更好的教導，布特納郵購一本高等算術給高斯研習，並安排高斯和18歲的助教巴陀(Martin Bartels)往來討論，高斯很珍惜可以和老師助教共同研習這本書。後來巴陀(Martin Bartels)推薦高斯給卡洛林學院的勤模曼(Zimmermann)教授，再經由勤模曼的引薦給費迪南公爵，費迪南公爵經濟援助高斯繼續受高等教育。

高斯11歲時推導出牛頓二項式公式 $\large\ (x+y)^n=\Sigma_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$

高斯 15歲時發表質數分佈，讓他走進研究高等數論的領域，同時也開啟他思考歐幾里得所提出的基本問題，尤其是平行公理，而這影響後來非歐幾何學的發展。

歐氏幾何的第五公設「如果一條線段與兩條直線相交，在線段的同側內角和小於180°，那麼這兩條直線不斷延伸後，會在內角和小於180°的一側相交。」這一個問題等到高斯才獲得突破，高斯自15歲時就想解決這個困擾數學界近兩千年的難題。他親自實地測量，討論我們的空間是否存在有非歐幾何性質的可能性，提出新的幾何觀念解決第五公設難題。到1813年，37歲的高斯發展一套關新幾何觀點，他稱之為「反歐幾里得幾何」後來又改稱「非歐幾里得幾何」。

18歲，高斯解決二千多年來的幾何難題，以尺規作圖圓內接正 17 邊形，從此下定決心研究數學。相傳他在晚年曾吩咐要在他的墓碑上刻上正十七邊形來紀念改變他一生的尺規作圖。

19歲，他到德國下薩克森邦東南部的哥庭根 ( Gottingen )讀大學，哥庭根是一個學術風氣很濃厚的城市，豐富的數學藏書讓高斯的研究如魚得水。

21歲撰寫《Disquisitiones Arithmeticae 》(算術研究)教科書，並在24歲時出版。這是第一本有系統研究數論的著作，除了有高斯的作品，也彙集了費馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等等數學家的數論研究，共七章包括一般同餘、一次同餘、冪剩餘、二次同餘、二次型式、應用、分圓，高斯首先提出同餘的概念，擴展了數論的研究，而《Disquisitiones Arithmeticae》(算術研究)的出版讓數論在數學領域佔有一席之地。

22歲，高斯發表博士論文獲得學位，論文是基本定理的證明「任何一元代數方程式都有解」，他在證明裡一直避免使用複數，因為當時對於複數的看法仍爭議不休。 1831年54歲的高斯給複數的一個幾何意義的解釋才奠立複數在數學的地位。高斯陸續為代數基本定理找出三個證明方法，最後一次選在他喜獲博士學位五十週年時發表的，這時複數發展成熟已被數學家接受，72歲的高斯第四次發表代數基本定理的證明並採用了複數，代數基本定理「一個一元複係數多項式方程都至少有一個複數根」。

24歲，高斯利用勒讓德提出的最小平方法計算榖神星的運行軌跡，協助當時天文家準確找到榖神星的位置，也讓最小平方法聲名大噪。

常態分配由德國的數學家和天文學家Moivre於1733年首先發表，卻由高斯率先將其運用在天文學研究，所以常態分配又叫高斯分布，對於機率統計學的影響卓著。現今德國10馬克鈔票印有高斯頭像和常態分配的鐘形曲線(附圖)。

在物理學領域，高斯提出透鏡及毛細作用理論，和 Wilhelm Weber 共同研究電磁學，電學以高斯作為單位名。製作反光器，雙線磁力計及發報機。

教科書的數學符號[x]，我麼稱之為高斯符號，首次出現在高斯於1801出版的《算術研究》教科書。高斯符號[x]表示小於等於x的最大整數。
教科書常用高斯消去法來解聯立方程式。
高斯將複數a+bi與平面上一點(a，b)一一對應，這平面稱為複數平面或高斯平面，橫軸點是實數，縱軸點是純虛數。
高斯將歐幾里得的算術基本定理：「每一個大於1的自然數，都可以唯一寫為質因數的乘積」，也就是標準分解式，推廣至複數系。