迦羅瓦 (Galois,1811-1832)

數學家阿貝爾已經有群的想法,只是沒有將它系統化,阿貝爾得以說明一般的一元五次方程式沒有跟式解。

迦羅瓦則始創群論,延伸證明了一般的一元五次或高於5次的方程式沒有根式解。可是在特殊條件下的一元五次或高於5次的方程式有根式解。後來迦羅瓦接受柯西的建議提出一元n次方程式是否有根式解的判定方法,其中n ≧ 5。

1811年10月25日迦羅瓦生於法國的巴黎附近的皇后鎮(Bourg-la-Reine),比阿貝爾年輕9歲。父母在哲學、古典文學和宗教方面都受過良好的教育。12 歲以前,母親是伽羅瓦唯一的老師。父親曾擔任皇后鎮鎮長

 1811年,法國皇帝拿破崙的權力達到顛峰,一年後發生法俄國戰爭,拿破崙戰敗。1814年,拿破崙慘遭滑鐵盧敗戰被放逐,由路易十八接替皇位。

1823年12歲的迦羅瓦,進入路易勒格蘭德中學 4 年級就讀。

1827年2月是伽羅瓦人生的轉捩點。他加入數學菁英班,希波呂特·維尼耶(Hypolyte Vernier)是伽羅瓦的第一位數學老師。伽羅瓦很快被數學所吸引,希波呂特·維尼耶寫道「對數學的熱情支配著他,我認為如果他的父母允許他只學習這個,對他來說是最好的,他在這裡浪費時間,除了折磨他的老師和懲罰自己之外什麼都不做。迦羅瓦對數學的渴求已超出老師的能力範圍,迦羅瓦只好拿數學大師的著作當做學習的教科書。

1828年,17歲的伽羅瓦報考巴黎綜合理工大學,可是在口試無法清楚表達想法因而落榜。同一年 4 月,伽羅瓦在《數學年鑒》(Annals of Mathematics)上發表了他的第一篇關於連分數的論文。5月25日和6月1日,他向法國科學院提交了關於方程代數解的文章柯西被任命為伽羅瓦論文的審稿人。1829629伽羅瓦第二次報考巴黎綜合理工大學,還是落榜。但是伽羅瓦通過巴黎高等師範學校考試,只花了半年就在1229日獲得學位。

1830年2月伽羅瓦接受柯西的建議修改論文,第二次提交了一篇新論文〈關於方程式可被根式解的條件〉。柯西將這篇論文送到法國科學院的秘書傅立葉那裡,參加角逐科學院的數學大獎。可惜傅立葉1830年4月去世,伽羅瓦的論文也無故失蹤再也沒有被發現。1831年1月17日,伽羅瓦應法國科學院院士布阿松(Simeon Denis Poisson)邀請第三次提交論文的第三版布阿松評論:「他的論述不夠清晰,以致我們無法判斷其是否嚴謹。」

1930年法國七月革命,也就是雨果筆下的《悲慘世界》,20歲的伽羅瓦支持共和被捕入獄。隔年出獄, 1832年5月30日因故與軍官佩舍·德·赫賓維爾決鬥受槍殺受傷,隔天死於醫院,相傳是為了單戀的女孩史蒂芬妮。決鬥前曾寫了一封遺囑信給好友薛弗勒(Anguste Chevalier),信中談到伽羅瓦群論。迦羅瓦參考了高斯的分圓多項式的研究和拉格朗日對於方程式根置換的研究,伽羅瓦沒有採用以前數學家以方程式係數討論根式解的方法,而是以方程式係數和置換群的關係來判定一元 n次方程式是否有根式解,開創了數學的嶄新研究領域-群論。遺囑交待薛弗勒將信和論文手稿交給高斯和雅各比(Carl Gustav Jacob Jacobi),信件手稿寄出後石沉大海,杳無音訊。

迦羅瓦第三次投稿的論文幸好有保留在法國科學院,經過數學家約瑟夫.萊歐維爾(Joseph Liouville)的解讀,終於有人看懂了迦羅瓦的想法。萊歐維爾是《純粹與應用數學雜誌》的主編,1846年,伽羅瓦身亡14年後,萊歐維爾在《純粹與應用數學雜誌》率先發表伽羅瓦的論文〈關於方程式可被根式解的條件〉。萊歐維爾為這篇論文寫序,正式向數學界推薦,讓數學界認識到伽羅瓦的天才理論。

 

參考資料:

費瑪最後定理---Simon Singh/著,  薛密/譯 ,台灣商務印書館
用數學的語言看世界---大栗博司 (臉譜出版)


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