幾何原本

幾何原本

歐幾里德(Euclid，希臘人。生於西元前300年前後)是著名的數學家，以數學經典名著《幾何原本》聞名於世。但後人對他的生平卻所知不多，只從一些典籍中知道他是托勒密一世時代的人(西元前323~前285在位)，他對柏拉圖(Plato，西元前427一前347)的學說頗有研究，曾給托勒密講授幾何學。當托勒密問他說，除了《幾何原本》之外，還有沒有什麼學習幾何的捷徑時，他說出了「幾何無王者之道 !」("There is no royal road to geometry.。")的千古名言。
《幾何原本》的前6卷講幾何，第7至I0卷則用幾何的方式來討論數論，其餘各卷也是幾何，基本上就是一本幾何專書。它的內容和中國傳統的算學書大異其趣，為了區別起見，所以應創新詞來代表，由於「幾何」二字既和geometric的字音相近，又反映了數量大小的意思，採用它可以音意兼顧。
第1卷，首先定出23個定義。如「點是沒有部分的」，「線只有長度而沒有寬度」等，以及平面、直角、垂直、銳角、鈍角、平行線等定義。接著是5個公設，前4個是顯而易見的，第5個就很複雜:「一直線與兩直線相交，所構成的同側內角和若小於兩直角，則這兩直線延長後一定會在這兩個同側內角的那一例相交」，這就是後來引起許多糾紛的「歐幾里得平行公設」或簡稱第5公設。公設之後有5個公理，之後給出48個命題。第47命題就是著名的勾股定理:「直角三角形斜邊上的正方形等於兩股上正方形的和」。
第2卷，包括14個命題，用幾何的語言敘述代數的恆等式。第11命題是分線段為中末比，也就是後來所稱的黃金分割;第12、13命題相當於餘弦定理。
第3卷，包含37個命題，討論圓、弦、切線、圓周角、圓內接四邊形及與圓有關的圖形。
第4卷，有16個命題，包括圓內接與外切三角形、正方形的研究，及圓內接正多邊形(5邊、10邊、15邊)的作圖。
第5卷，比例論，有25個命題。
第6卷，把第5卷中已建立的理論用到平面圖形上，共33個命題。
第7、8、9卷，這三卷是數論，分別有39、27、36個命題，完全用幾何的方法來敘述。第7卷，第1命題是歐幾里德輾轉相除法的出處。第9卷第20命題是數論中的歐幾里德定理:「質數的個數有無限多。」
第10卷，包含115個命題，分量佔全書的四分之一，主要討論無理量。第1命題「給定大小兩個量，從大量中減去它的一大半，再從剩下的量中減去它的一大半，如此繼續下去，可使所餘的量小於所給的小量」相當重要，它是極限論的雛形，也是窮盡法的理論基礎。
第11卷，討論空間的直線與平面的各種關係。
第12卷，利用窮盡法證明「圓面積的比等於直徑平方的比」。此外還證明了「球體積的比等於直徑立方的比」、「錐體體積等於同底等高的柱體的三分之一。
第13卷，著重研究五個正多面體。