卡當

卡當(Jerome.Cardano，1501-1576)

西元1501年生於義大利帕維亞(Pavia)，文藝復興時期重要的數學家，同時也是一位著名的醫生。卡當在機率論扮演了奠基的工作。1563年出版Liber de Ludo Aleae》(博弈論)，計算投擲兩顆或三顆骰子得到固定點數有幾種方法，這應該是機率論發展的濫觴。卡當的研究涵蓋了數學、天文學、占星學、物理學、醫學以及關於道德方面的語錄。將古世紀、中世紀以及當代所能蒐集到的數學知識，編成百科全書，也將自己偏愛的數論和代數結合一起。

1545年卡當出版《Ars Magna》(大衍術)，這是文藝復興時代很重要著作，第一部專門研究代數的拉丁文論文。書中首次出現使用符號記數的雛形，例如：3. quad . quad . p .29. quad . p .57 . aqualia 36 . pos . p . 74.，相當於現在的3X⁴+29X²+57=36X+74。並將一元三次方程式和一元四次方程式的公式解都寫進《Ars Magna》(大衍術)。

《Ars Magna》第三十七章有一道題「把10分成兩部分，使其乘積為40。」，這需要解方程式 x(10-x)=40，x² -10x+40=0，二根是 5+$\sqrt{-15}$和5-$\sqrt{-15}$。卡當認為$\sqrt{-15}$實際上不存在，卻可以符合實數四則運算，因為(5+$\sqrt{-15}$)+(5-$\sqrt{-15}$)=10，(5+$\sqrt{-15}$)(5-$\sqrt{-15}$)=25-(-15)=40，卡當認為這是詭辯(sophistic)，這二個根既微妙又無用(現實世界不存在)。雖然卡當的說法令人訝異，但是數學家花了200年才弄清楚虛數，包括牛頓，萊布尼茨，笛卡爾，甚至是尤拉都沒有明白虛數的真正意義。等到1831年54歲的高斯給複數的一個幾何意義的解釋才奠立複數在數學的地位。高斯將複數a+bi與複數平面上一點(a，b)對應，平面橫軸點是實數，縱軸點是純虛數，a+bi乘以i就是將(a，b)逆時鐘旋轉90°到(-b，a)。

16世紀歐洲數學界封閉，當時流行互相以三次方程式讓對方求解，就算有人可以提出最後答案，還是不願公開求解的方法，這點像古代祖傳祕方不外傳一般。義大利數學家尼科洛·塔爾塔利亞(Tartaglia)在1541年就推導出一元三次方程式x³+px+q＝0的公式解，卻不願公諸於世。卻在一封給卡當的回信中透漏了這個公式，而卡當沒有獲得塔爾塔利亞同意，就將公式解$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}$ 寫入他出版的《Ars Magna》(大衍術)書裡。另外說法，卡當於1543年發現塔爾塔利亞不是第一位得出三次公式解，盡管他曾經向塔爾塔利亞宣示不公開，卡當自認還是可以公布這個公式解，造成兩人糾紛。

但是卡當的公式解只是三次方程式的一個解，直到高斯證明代數基本定理，在複數系的方程式必有根，而且n次方程式有n個根。一元三次方程式x³+px+q＝0 還有另外兩個根是 $\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\omega^2$和$\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\omega^2+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\omega$，其中$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

卡當的學生費拉利（Lodovico Ferrari，1522-1565）在1540年發表一元四次方程式的公式解。

1824年挪威數學家阿貝爾首先證明五次以上的多項式方程式的根是沒有公式解。而與阿貝爾幾乎同一時期的法國數學家伽羅瓦利用群論提出有系統的理論判斷多項式方程式是否存在根的公式解，可惜在伽羅瓦死後的1846年才被發現公諸於世。

參考資料：

■ 王懷權(1981) 。數學發展史。協進圖書。

■ Girolamo Cardano (1501 - 1576) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)