親和數/友誼數

「親和數」(amicable numbers)

時下年輕人流行送心儀對象999朵玫瑰，表達自己久久不質變的愛情保證。而遠在西元前500年的希臘畢達哥拉斯兄弟會卻認為220與284才是象徵友誼的符號，因為他們發現220的所有真因數相加的和等於284，1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。同時，284的所有真因數相加的和等於220，1+2+4+71+142=220，這一對你儂我儂的數字，彼此交融。而在舊約聖經《創世紀篇》第32章寫道「當夜，雅各在那裡住宿、就從他所有的物中拿禮物、要送給他哥哥以掃母山羊二百隻、公山羊二十隻、母綿羊二百隻、公綿羊二十隻、… 」雅各給他哥哥以掃山羊220隻、綿羊220隻，雅各選擇220表達了對哥哥的摯愛。西元1984年英國倫敦Viking出版了Martin Gardner所著《Mathematical Magic Show》一書，書中提道說220與284在中世紀的占星術鑄件與護身符扮演增進情誼的角色。並收錄了11世紀一位阿拉伯人對於220與284是否真有催情功效的試驗，這位阿拉伯人找了一批人吃下有標示220的食物，而另一批人則吃下有標示284的食物，結果並非有效。

如果一對正整數，他們的所有真因數和都是對方，這樣一對數就稱為「親和數」(amicable numbers)，220、284就是史上第一對被發現的親和數。大約西元850年Thabit ibn Qurra 發表親和數的通式，如果p = 3 × 2^n-1- 1，q = 3 × 2ⁿ- 1，r = 9 × 2^2n-1 - 1, n 是大於1的整數且p、q、r 都是質數，則 2ⁿpq 和 2ⁿr 就是一對親和數，但是Thabit ibn Qurra 的這個通式無法表示很多親和數。第一對親和數(220，284)就是n=2的結果，通式中p=5，q=11，r=71。令人疑惑的是，往後親和數的發現卻相當緩慢，直到西元1636年被費瑪(Fermat)發現(17296，18416)，它是habit ibn Qurra通式n=4的結果。到了西元1638年，笛卡兒(Descartes)發現親和數親和數(9363584，9437056)，而它是habit ibn Qurra通式n=7的結果。可是並非所有親和數都可以化成為Thabit ibn Qurra的通式，例如 (6232, 6368) 。

尤拉(Euler)則在西元1747年根據Thabit ibn Qurra通式，推導出「如果 p = 2^m(2^n-m+1)-1，q = 2ⁿ(2^n-m+1)-1，r = 2^n+m(2^n-m+1)²-1都是質數，其中m與n是整數，且1≦m≦n-1，則 2ⁿpq 與 2ⁿr 就是親和數」，他找出30組親和數，後來陸續發表，增加至64組，但是其中兩組分別在西元1909年與1914年被證明並不是親和數，而且很多親和數也無法用尤拉的公式計算出來。一件令人驚訝的事，西元1866年一位僅16歲男孩 Nicolo Paganini竟發現僅大於(220,284)的親和數 (1184,1210)。.

目前數學家藉助於電子計算機的運算能力，繼續尋找新的親和數，並努力證明親和數是否是無限多組，並努力找出一個可以表示所有親和數的公式，之前，Thabit ibn Qurra與 Euler顯然是失敗的。一批數學家致力於尋找互質的親和數，根據他們的猜測，假設有互質的親和數，一定是大於25位數字(千京位)的大數，而他們的乘積至少有22個相異的質因數。而到西元2004年七月6日，已經證明發現了7093056組親和數，而其中有2045組的位數是介於1000~17326之間。在這個網站 http://amicable.homepage.dk/tables.htm 你可以查到最新尋找親和數的相關紀錄。