阿契理斯追烏龜
西元前485年希臘哲學家芝諾(Zeno)提出了困擾數學家的古典邏輯的著名悖論「阿契理斯追烏龜 」。悖論(paradox)是指邏輯推論上沒有問題,卻違反直觀的論證。
傳說
阿契理斯是古希臘跑步最快的人,芝諾悖論:「在起點先讓烏龜爬行100公尺後,阿契理斯再起跑,他的速度比烏龜快10倍,那麼,阿契理斯將無法追上烏龜。因為阿契理斯跑了100公尺抵達烏龜原來的地點,烏龜同時已經向前爬行10公尺;當他再追跑10公尺時,烏龜已經向前爬行1公尺。依此類推,兩者之間總有一段距離,所以阿契理斯是無法追上烏龜的。」
直觀而言,阿契理斯是無法追上烏龜的,因為烏龜總是在前方。可是按邏輯推論卻........
假設阿契理斯跑步的平均速率是每秒鐘10公尺,烏龜的爬行的平均速率是每秒鐘1公尺。則
阿契理斯花10秒跑到距離起點100公尺處,烏龜已經向前爬行10公尺了。
阿契理斯花1秒跑了10公尺,烏龜已經又向前爬行1公尺。
阿契理斯花$\frac{1}{10}$秒跑了1公尺,烏龜又向前爬行$\frac{1}{10}$公尺了。
...........
依此類推,阿契理斯跑步的總時間是 10+1+$\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\dots$。
10+1+$\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\dots$=$\large\frac{10}{1-\frac{1}{10}}$=$\large\frac{100}{9}$秒。
所以阿契理斯起跑$\large\frac{100}{9}$秒後就可以追上烏龜。
參考資料:
神秘有趣的數學--(九章出版社)
矛盾集錦--(凡異出版社)
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