兩個單位分數合成單位分數
如果N是自然數,則1N是單位分數。
「如果A和B是自然數,則1A+1B=13有幾個解?」
因為1B=13-1A=A−33A ,B=3AA−3=3(A−3)+9A−3=3+9A−3 ,所以(A-3)是9的因數,即A-3=1、3、9,因此A= 4、6、12,得(A,B)=(4,12)、(6,6)、(12,4)。
14+112=13,16+16=13,有2個解。
「如果A和B是自然數,則1A+1B=14有幾個解?」
因為1B=14-1A=A−44A ,B=4AA−4=4(A−4)+16A−4=4+16A−4 ,所以(A-4)是16的因數,即A-4=1、2、4、8、16,因此A=
5、6、8、12、20,得(A,B)=(5,20)、(6,12)、(8,8)、(12,6)、(20,5)。
15+120=14,16+112=14,18+18=14,有3個解。
「如果A和B是自然數,則1A+1B=15有幾個解?」
因為1B=15-1A=A−55A ,B=5AA−5=5(A−5)+25A−5=5+25A−5 ,所以(A-5)是25的因數,即A-5=1、5、25,因此A=
6、10、30,得(A,B)=(6,30)、(10,10)、(30,6)。
16+130=15,110+110=15,有2個解。
n=3~8,列表如下
n |
n2 |
A-n |
A |
(A,B) |
1A+1B=1n有幾個解? |
3 |
9 |
1,3,9 |
4,6,12 |
(4,12)、(6,6)、(12,4) |
2 |
4 |
16 |
1,2,4,8,16 |
5,6,8,12,20 |
(5,20)、(6,12)、(8,8)、(12,6)、(20,5)。 |
3 |
5 |
25 |
1,5,25 |
6,10,30 |
(6,30)、(10,10)、(30,6)。 |
2 |
6 |
36 |
1,2,3,4,6,9,12,18,36 |
7,8,9,10,12,15,18,24,42 |
(7,42)、(8,24)、(9,18)、(10,15)、(12,12)、(42,7)、(24,8)、(18,9)、(15,10)。 |
5 |
7 |
49 |
1,7,49 |
8,14,56 |
(8,56)、(14,14)、(56,8)。 |
2 |
8 |
64 |
1,2,4,8,16,32,64 |
9,10,12,16,24,40,72 |
(9,72)、(10,40)、(12,24)、(16,16)、(24,12)、(40,10)、(72,9)。 |
4 |
從以上的討論發現︰「如果A、B、n是自然數且1A+1B=1n,則A-n是 n2 的因數。」
因為1A+1B=1n,所以B=nAA−n=n(A−n)+n2A−n=n+n2A−n ,A-n是n2的因數。
「已知A、B、n是自然數且1A+1B=1n,如果 n2 的正因數個數是a,則1A+1B=1n有a+12個解。」
例如︰因為100=22×52,100的正因數有(2+1)(2+1)=9個,所以1A+1B=110的解有9+12=5 (個)。
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