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兩個單位分數合成單位分數

如果N是自然數,則1N單位分數

「如果A和B是自然數,則
1A+1B=13有幾個解

因為
1B=13-1A=A33A ,B=3AA3=3(A3)+9A3=3+9A3 ,所以(A-3)是9的因數,即A-3=139,因此A= 4612,得(A,B)=(4,12)、(6,6)、(12,4)。
14+112=1316+16=13,有2個解。


如果A和B是自然數,則1A+1B=14有幾個解?」

因為
1B=14-1A=A44A ,B=4AA4=4(A4)+16A4=4+16A4 ,所以(A-4)是16的因數,即A-4=1、2、4、8、16,因此A= 5、6、8、12、20,得(A,B)=(5,20)、(6,12)、(8,8)、(12,6)、(20,5)。
15+120=1416+112=1418+18=14,有3個解。


如果A和B是自然數,則1A+1B=15有幾個解?」

因為
1B=15-1A=A55A ,B=5AA5=5(A5)+25A5=5+25A5 ,所以(A-5)是25的因數,即A-5=1、5、25,因此A= 6、10、30,得(A,B)=(6,30)、(10,10)、(30,6)。
16+130=15110+110=15,有2個解。


n=3~8列表如下

n

n2

A-n

A

(A,B)

1A+1B=1n有幾個解?

3

9

 1,3,9

4,6,12

(4,12)、(6,6)、(12,4)

2

4

16

 1,2,4,8,16

5,6,8,12,20

(5,20)、(6,12)、(8,8)、(12,6)、(20,5)。

3

5

25

 1,5,25

6,10,30

(6,30)、(10,10)、(30,6)

2

6

36

 1,2,3,4,6,9,12,18,36

7,8,9,10,12,15,18,24,42

(7,42)、(8,24)、(9,18)、(10,15)、(12,12)(42,7)、(24,8)、(18,9)、(15,10)

5

7

49

 1,7,49

8,14,56

(8,56)、(14,14)、(56,8)

2

8

64

 1,2,4,8,16,32,64

9,10,12,16,24,40,72

(9,72)、(10,40)、(12,24)、(16,16)、(24,12)(40,10)、(72,9)

4

從以上的討論發現︰如果A、Bn是自然數1A+1B=1n,則A-n是 n2 的因數。
因為1A+1B=1n所以B=nAAn=n(An)+n2An=n+n2An ,A-n是n2的因數

「已知A、B、n是自然數1A+1B=1n,如果 n2 的正因數個數是a,則1A+1B=1na+12個解。

例如︰因為100=22×52,100的正因數有(2+1)(2+1)=9個,所以1A+1B=110的解有9+12=5 (個)。

 


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