兩個單位分數合成單位分數

如果N是自然數，則$\frac{1}{N}$是單位分數。

「如果A和B是自然數，則$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{3}$有幾個解？」

因為$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{A}$=$\frac{A-3}{3A}$ ，B=$\frac{3A}{A-3}=\frac{3(A-3)+9}{A-3}$=3+$\frac{9}{A-3}$ ，所以(A-3)是9的因數，即A-3=1、3、9，因此A= 4、6、12，得(A，B)=(4，12)、(6，6)、(12，4)。
$\large\frac{1}{4}$+$\large\frac{1}{12}$=$\large\frac{1}{3}$，$\large\frac{1}{6}$+$\large\frac{1}{6}$=$\large\frac{1}{3}$，有2個解。

「如果A和B是自然數，則$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{4}$有幾個解？」

因為$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{A}$=$\frac{A-4}{4A}$ ，B=$\frac{4A}{A-4}$=$\frac{4(A-4)+16}{A-4}$=4+$\frac{16}{A-4}$ ，所以(A-4)是16的因數，即A-4=1、2、4、8、16，因此A= 5、6、8、12、20，得(A，B)=(5，20)、(6，12)、(8，8)、(12，6)、(20，5)。
$\large\frac{1}{5}$+$\large\frac{1}{20}$=$\large\frac{1}{4}$，$\large\frac{1}{6}$+$\large\frac{1}{12}$=$\large\frac{1}{4}$，$\large\frac{1}{8}$+$\large\frac{1}{8}$=$\large\frac{1}{4}$，有3個解。

「如果A和B是自然數，則$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{5}$有幾個解？」

因為$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{A}$=$\frac{A-5}{5A}$ ，B=$\frac{5A}{A-5}$=$\frac{5(A-5)+25}{A-5}$=5+$\frac{25}{A-5}$ ，所以(A-5)是25的因數，即A-5=1、5、25，因此A= 6、10、30，得(A，B)=(6，30)、(10，10)、(30，6)。
$\large\frac{1}{6}$+$\frac{1}{30}$=$\frac{1}{5}$，$\large\frac{1}{10}$+$\large\frac{1}{10}$=$\large\frac{1}{5}$，有2個解。

n=3~8，列表如下

n	n²	A-n	A	(A，B)	$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{n}$有幾個解?
3	9	1，3，9	4，6，12	(4，12)、(6，6)、(12，4)	2
4	16	1，2，4，8，16	5，6，8，12，20	(5，20)、(6，12)、(8，8)、(12，6)、(20，5)。	3
5	25	1，5，25	6，10，30	(6，30)、(10，10)、(30，6)。	2
6	36	1，2，3，4，6，9，12，18，36	7，8，9，10，12，15，18，24，42	(7，42)、(8，24)、(9，18)、(10，15)、(12，12)、(42，7)、(24，8)、(18，9)、(15，10)。	5
7	49	1，7，49	8，14，56	(8，56)、(14，14)、(56，8)。	2
8	64	1，2，4，8，16，32，64	9，10，12，16，24，40，72	(9，72)、(10，40)、(12，24)、(16，16)、(24，12)、(40，10)、(72，9)。	4

從以上的討論發現︰「如果A、B、n是自然數且$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{n}$，則A-n是 n²的因數。」
因為$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{n}$，所以B=$\frac{nA}{A-n}=\frac{n(A-n)+n^2}{A-n}$=n+$\frac{n^2}{A-n}$ ，A-n是n²的因數。

「已知A、B、n是自然數且$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{n}$，如果 n² 的正因數個數是a，則$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{n}$有$\large\frac{a+1}{2}$個解。」

例如︰因為100=2²×5²，100的正因數有(2+1)(2+1)=9個，所以$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$=$\frac{1}{10}$的解有$\large\frac{9+1}{2}$=5 (個)。