有理數都可以表示成單位分數的和

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有理數表示成相異單位分數和

一個分數的分子是1且分母是自然數，這樣的分數被稱為「單位分數」，例如: $\large\frac{1}{2}$ ， $\large\frac{1}{3}$ ， $\large\frac{1}{4}$ 。

單位分數是否可以由二個以上(包含二個)的相異單位分數相加組合而成呢?

因為 $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n+1}$ = $\frac{1}{n(n+1)}$ ，所以 $\frac{1}{n}$ = $\frac{1}{n+1}$ + $\frac{1}{n(n+1)}$ 。

得知單位分數 $\frac{1}{n}$ 可以化為兩個單位分數和，即 $\frac{1}{n+1}$ + $\frac{1}{n(n+1)}$ 。
而 $\frac{1}{n+1}$ = $\frac{1}{n+2}$ + $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ ，依此類推 $\frac{1}{n+a}$ = $\frac{1}{n+a+1}$ + $\frac{1}{(n+a)(n+a+1)}$ ，a是自然數。

因此， $\frac{1}{n}$ = $\frac{1}{n+1}$ + $\frac{1}{n(n+1)}$ =( $\frac{1}{n+2}$ + $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ )+ $\frac{1}{n(n+1)}$ =[( $\frac{1}{n+3}$ + $\frac{1}{(n+2)(n+3)}$ )+ $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ )]+ $\frac{1}{n(n+1)}$ =....

因為一個單位分數可以表示為二個以上(包含二個)的相異單位分數相加和，所以有理數都可以表示成相異單位分數的和。

例如︰
$\frac{3}{5}$ = $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{5}$ =
$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{30}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{30}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{30}$ =
$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{30}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{42}$ + $\frac{1}{31}$ + $\frac{1}{930}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{42}$ + $\frac{1}{31}$ + $\frac{1}{930}$ =
$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{30}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{42}$ + $\frac{1}{31}$ + $\frac{1}{930}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{56}$ + $\frac{1}{43}$ + $\frac{1}{1806}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{992}$ + $\frac{1}{931}$ + $\frac{1}{865830}$