有理數都可以表示成單位分數的和

有理數表示成相異單位分數和

一個分數的分子是1且分母是自然數，這樣的分數被稱為「單位分數」，例如:$\large\frac{1}{2}$，$\large\frac{1}{3}$，$\large\frac{1}{4}$。

單位分數是否可以由二個以上(包含二個)的相異單位分數相加組合而成呢?

因為$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n(n+1)}$，所以$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n(n+1)}$。

得知單位分數$\frac{1}{n}$可以化為兩個單位分數和，即$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n(n+1)}$。
而$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$，依此類推$\frac{1}{n+a}$=$\frac{1}{n+a+1}$+$\frac{1}{(n+a)(n+a+1)}$，a是自然數。

因此，$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n(n+1)}$=($\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$)+$\frac{1}{n(n+1)}$=[($\frac{1}{n+3}$+$\frac{1}{(n+2)(n+3)}$)+$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$)]+$\frac{1}{n(n+1)}$=....

因為一個單位分數可以表示為二個以上(包含二個)的相異單位分數相加和，所以有理數都可以表示成相異單位分數的和。

例如︰
$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$=
$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{30}$=
$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{31}$+$\frac{1}{930}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{31}$+$\frac{1}{930}$=
$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{31}$+$\frac{1}{930}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{43}$+$\frac{1}{1806}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{992}$+$\frac{1}{931}$+$\frac{1}{865830}$